Hammer: Das Mittelwasser der Ostsee bei Kolbergermünde, 
zu nehmen. Die Abweichungen v der einzelnen Beobachtungen von diesem 
Endwerth x, nämlich die Beträge 
@) . Yr= xl; vo=X—l, 0.0... .Yyn= X h 
müssen nun dazu dienen können, .den mittleren Fehler einer Beobachtung der 
Reibe zu berechnen. Wären die v die „wahren Fehler“ der einzelnen Beob- 
achtungen, so wäre der mittlere Fehler einer Beobachtung zu definiren als der 
Betrag, dessen Quadrat der Durchschnitt der v* ist. 
Diese Voraussetzung trifft aber nicht zu, weil x nicht der wahre Werth 
der Unbekannten, sondern nur der aus der endlichen Zahl n der vorhandenen 
Beobachtungen folgende wahrscheinlichste Werth ist; die v sind also nicht die 
wahren Fehler der ], sondern nur deren „wahrscheinlichste“ Verbesserungen, 
wie sie sich aus den n angestellten Beobachtungen ergeben. Mit Rücksicht 
hierauf heifst, wie in der Ausgleichungsrechnung gezeigt wird, der Nenner des 
Ausdrucks für m? (Quadrat des mittleren Fehlers einer Beobachtung) bei.Be- 
nutzung der v nicht n, sondern (n — 1), d. h. es ist 
m ya 
.‚an—1 n— 1 
Ye 
mM. — yL 
il 
Als Probe für die Richtigkeit des x aus (1) und der v aus (2) dient 
dabei, dafs die Summe der v gleich Null sein mufs: 
‚un = x— 1) + — Il) x — In) =n'x—[1]=0 
oder: die Summe der positiven v muß gleich der absoluten Summe der negativen 
v sein. 
Der mittlere Fehler des Durchschnitts x selbst, M, sinkt mit der Anzahl n 
der Beobachtungen; :aber nicht etwa proportional n, sondern, wie die Aus- 
gleichungsrechnung zeigt, proportional |n, d. h. es ist 
m 
M — — 
Vn 
Die Rechnung des m nach (3), d. h. mit Benutzung der Quadrate der 
„Verbesserungen“ v der einzelnen Beobachtungen, ist stets die sicherste. Tür 
lange Beobachtungsreihen, z. B. einige Hundert v, ist aber das Aufschlagen 
aller einzelnen v? bereits etwas mühsam, und es sind deshalb in der Metecrologie, 
Hydrographie u. s. w. viele Bestrebungen darauf gerichtet gewesen, den mittleren 
Fehler einer Beobachtung m mit Benutzung der ersten Potenzen der v zu 
berechnen. 
Vor Allem kann man dazu den sogenannten durchschnittlichen Fehler 
einer Beobachtung benutzen. ; 
An und für sich würde noch näher als die Benutzung des mittleren Fehlers m 
einer Beobachtung zur Beurtheilung der Messungsreihe die Benutzung des so- 
genannten „durchschnittlichen“ Fehlers einer Beobachtung liegen. Wären die v 
die wahren Fehler (siehe oben), so wäre dieser durchschnittliche Fehler f einer 
Beobachtung offenbar, wenn [CC] die absolute Summe der v bedeutet (Summe 
aller v, indem man allen das Zeichen -+ giebt), dadurch zu berechnen, dafs 
man [Ev] mit n dividirt. Da aber die v nur die aus dem wahrscheinlichsten 
Werth der Unbekannten sich ergebenden wahrscheinlichsten Verbesserungen sind, 
so ist für f, ähnlich wie oben bei m, zu setzen: 
„em 
“ am — 1) 
Besonders zwei Formeln zur Bestimmung von ın mit Benutzung des etwas 
einfacher zu berechnenden f oder unmittelbar der [E71], statt der v°, sind nun 
zu erwähnen, nämlich die von Peters (6) und die von Fechner (7); sie lauten: 
mn = A «f — 1,25981 + f 
6)