Fulst: Ueber die Berechnung nautisch-astronomischer Aufgaben. ‘ 139 
bestimmungen, bei Mittagsverbesserungen aus gleichen Sonnenhöhen, bei den in- 
direkten Methoden der Reduktion der Monddistanzen, ist ihre Verwendbarkeit 
ganz aufser Frage. Man könnte höchstens noch zweifelhaft sein, ob sich mit 
ihrer Hülfe auch die Bestimmung des Stundenwinkels (Chronometerlänge) und 
die Breitenbestimmung aus zwei Sonnenhöhen und der Zwischenzeit ihrer Be- 
obachtungen (Aufsenmittagsbreite) mit genügender Schärfe durchführen lassen. 
Dafs dieses in der That der Fall ist, soll: im Folgenden nachgewiesen werden, 
nachdem zuvor allgemeine Untersuchungen über die Genauigkeit der Rechnung 
mit vierstelligen Logarithmen geführt sind. 
Ueber die bei der logarithmischen Berechnung vorkommenden Fehler 
handelt eine Arbeit Bremiker’s: „De erroribus, quibus computationes 
logarithmicae afficiuntur“ in der 1852 erschienenen „Logarithmorum VI 
decimalium nova tabula Berolinensis“, Die Arbeit setzt indessen eine 
gewisse Vertrautheit mit den Disciplinen der höheren Mathematik voraus und 
ist ausschließlich für. den Mathematiker und Astronomen vom Fach geschrieben. 
Ich habe daher die dort abgeleiteten Resultate nicht benutzt, sondern eine andere, 
ganz elementare Ableitung vorgezogen, die keinerlei Kenntnisse der höheren 
Mathematik voraussetzt. 
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Es werde zunächst der Fehler einer Summe mehrerer Logarithmen bestimmt. 
Um die Uebersichtlichkeit zu erhöhen, soll im Folgenden die vierstellige 
Mantisse, wenn nicht anders bemerkt, als ganze Zahl angesehen werden, so dafs 
ein Fehler derselben von 0,4 bedeutet, dafs der betreffende Logarithmus um 
0,00004 fehlerhaft ist. 
Denkt man sich die Fehler (f), die bei einer sehr grofsen (unendlich 
grofsen) Anzahl vierstelliger Logarithmen vorkommen, der Größe nach geordnet, 
so werden dieselben — diese Annahme scheint gerechtfertigt — eine nahezu 
gleichmäfsig fortschreitende Reihe bilden. Im Besonderen werden jeder der 
folgenden zehn Gruppen gleich viel Fehler angehören, 
. Fehler zwischen + 0,5 und -+ 0,4 
+04 „ +08 
+03 9 +0,2 
“02 „ +01 
410,1 „09 
, * —0.1 
—01  —02 
» —02 » — 0,2 
5 —03 „ —04 
— 0,4 = —0,5 
Auch innerhalb dieser Gruppen werden die Fehler gleichförmig vertheilt sein. 
Bei der Summe oder der Differenz zweier Logarithmen können die Fehler 
(F, =f, + f;) zwischen + 1,0 und — 1,0 liegen, doch werden sie jetzt nicht 
mehr gleichmäfsig vertheilt sein, sondern die größeren werden seltener, die 
kleineren öfter vorkommen. 
Bildet man nämlich die 100 möglichen Kombinationen zu zweien der obigen 
zehn Gruppen, die offenbar gleich oft bei der Bildung der Summen auftreten 
müssen, so erkennt man dieses unmittelbar. Man- findet nämlich, dafs bei diesen 
100 möglichen Fällen die Fehler sich folgendermafsen vertheilen, 
Der Fehler liegt 
zwischen -+1,0 und +0,8 
+09 »„ +07 
+05 „ +0 
+0,77 „ +05 
+8 , +04 
An +02 
are +02 » 
+06 +01 » 
+0,2 0 ‘ 
-+0,1 —0,1 
Faßt man nun z; B. eine große Anzahl derjenigen Summen ins Auge, bei 
denen der Fehler der ersten Gruppe (+ 1,0 > F, > + 0,8) angehört, oder, 
was dasselbe sagt, bei denen die beiden Logarithmen je einen Fehler zwischen 
+ 0,5 und + 0,4 haben, so wird es unter ihnen offenbar ebenso viele mit Fehlern