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Aus dem Archiv der Deutschen Seevvarte — 1894 No. 4
+ 7.4s 1 + 31.6 g
«!+ 4.27^
0.7 s t + 2.99/7
= +52 s 73
+ 7f 13
= + 4?99
—4.27g =
—6?43
+ 18.23# =
+ 27?46
-3.27 g =
—3.93
+10.69 g =
+ 12.85
-1-59/7 =
—1.70
+ 2.53 g =
+ 2.70
-1.27 g =
—1.43
B.
+ 1.61 g =
+ 1.82
+ 0.73/7 =
+ 0.07
+ 0.53/7 =
+ 0.05
+ 1-219 =
+ 0.75
+ 1.46,7 =
+ 0.91
+2.73 <7 =
+ 3.57
+ 7.45.7 =
+ 9.75
+ 5.73 (j =
+ 9.07
+ 75.33^ =
+ 32.83/7 =
+107?51
+ 51.97
g = + 1?43
9o = + 1 S 50
§ 49. Wesentlich einfacher gestaltet sich die Berechnung des täglichen Ganges aus mehreren Stand-
bestimmungen, wenn letztere in gleichen Zwischenzeiten ausgeführt worden sind. — Ehe wir die für diesen
Fall gültigen Formeln aufstellen, mögen hier zwei später zu benutzende Hiilfssätze abgeleitet werden.
Erstens: Es ist die Summe der n ersten ganzen Zahlen, also
S t = 1+2 + 3 + +(n — l) + n
zu bilden. — Addirt man in symmetrischerWeise die erste und die letzte Zahl (also 1 und n), die zweite und
die vorletzte Zahl (also 2 und n — 1) u. s. w., so erkennt man, dass die Summe jedesmal = n +1 beträgt.
01
Ist nun n eine gerade Zahl, so erhält man — solcher Summen, es wird mithin
Ä, =
n (n + 1)
n- n
~2~ ‘ ~2~
Ist n eine ungerade Zahl, so ergeben sich [ ^ solcher Summen und die mittlere Zahl, also
^ 2 ist einzeln zu addiren; also wird in diesem Falle
Si = (n + n + l + ¥
n
2
Beide Fähe ergeben also das gleiche Besultat.
Zweitens: Es ist die Summe der Quadrate der n ersten ganzen Zahlen, also
S. 2 = l 2 + 2 2 + 3 2 + + (n — l) 2 + n 2
zu bilden. — Wir gehen aus von den folgenden Gleichungen, deren Richtigkeit man sofort erkennt
(1 + l) 3 —l 3 — 3.1 2 + 3.1 + 1
(2 + l) 3 —2 3 = 3.2 2 + 3.2 + 1
(3+ l) 3 —3 3 = 3.3- + 8.3 + 1
(n + l) 3 —n 3 = 3 .n 2 + 3.« + 1
Addirt man diese Gleichungen, so heben sich auf der linken Seite alle Grössen bis auf zwei fort; es
entsteht
(tc + 1) 3 — l 3 = 3 [l 2 + 2 2 + 3 2 + +(»—l) 2 + rc 2 ]
+ 3 [1 + 2 + 3+ +.(n—l)+n] +»
Unter Benutzung des im ersten Satze gefundenen Resultates erhält man hieraus nach einigen leichten
Umformungen
