Ortsbestimmung aus beliebig vielen Höhen. 
Da aber beide Bestimmungen gleichberechtigt sind für die beiden von 
einander unabhängigen Variabeln x und y, so genügen auch beide End- 
zleichungen, um durch schliefsliche Elimination aus ihnen die gesuchten beiden 
Größen x und y nach ihrem wahrscheinlichsten Wertbe zu erlangen. 
Ueberhaupt also, wenn eine beliebige Reihe von einfachen Gleichungen 
yegecben sind, deren Anzahl gröfser ist, als die Zahl der unbekannten Größen, 
30 findet man die wahrscheinlichsten Werthe der letzteren, indem man eine 
jede Gleichung mit dem Koeffiecienten der einzelnen unbekannten Gröfsen multi- 
plicirt und die Produkte addirt. Das giebt ebenso viele Endgleichungen als 
ınbekannte Gröfsen vorhanden sind, woraus schliefslich durch Elimination die 
gesuchten Werthe folgen. — Gleichungen vom höheren Grade kommen dabei 
nicht vor, da x und y immer als kleine Gröfsen (Verbesserungen von Näherungs- 
werthen) zu betrachten sind, deren zweite und höhere Potenzen verschwindend 
klein werden. . 
In der vorliegenden Aufgabe haben die einzelnen Bedingungsgleichungen 
die Form 
dy cos z-+ dicos g.sinz—p = 0. 
Multiplieirt man also jede solche Gleichung zuerst mit cos z als Ko6&ffi- 
sient von de, so wird die erste Endgleichung: 
de Zcos?z-+ dicosgp Zsinz cos z — Zpcosz = 0. 
Ferner giebt die Multiplikation mit sinz die zweite Endgleichung: 
de Zsinz cos z + di cos Xsin®z— Xpsinz = 0, 
welches die in (3) angegebenen Gleichungen sind, 
Nachdem nun also die gesuchte wahrscheinlichste Breite und Länge ge- 
funden ist, kann man noch durch Substitution von de und di in Gleichung (1) 
die übrig bleibenden Fehler berechnen, welche als Korrektionen der beobach- 
;eten Höhen, mit den Unterschieden zwischen den schliefslich für den Punkt P 
direkt berechneten Höhen und den Beobachtungen, freilich nur in dem Falle 
scharf übereinstimmen werden, wenn die gemachten Voraussetzungen noch genau 
genug zutreffen. Diese Voraussetzungen sind, dafs die gebrauchten einfachen 
Differentialformeln genügen und Glieder höherer Ordnung also verschwindend 
klein werden; oder im geometrischen Sinne, dafs die Punkte E und P einander 
nahe genug, auch die kleinen Stücke der Kreise für die Oerter gleicher Höhe 
zo wenig gekrümmt sind, um sie noch mit geraden Linien verwechseln zu 
können. In allen Fällen aber würde eine Wiederholung mit den verbesserten 
Werthen die Fehler dieser genäherten Voraussetzungen berichtigen können, so 
Jafs nur die reinen Beobachtungsfehler übrig bleiben, für welche das Minimum 
stattfindet. 
Besondere Fälle und auch konstruirende Auflösungen, neben den Be- 
rechnungen, sind nun im Folgenden näher in Betracht gezogen. 
Erster Fall: Beobachtung einer einzelnen Höhe, 
In diesem Falle ist die durch den Punkt R senkrecht zur azimuthalen 
Richtung gezogene Linie der geometrische Ort des Beobachtungsplatzes, so weit 
28 gestattet ist, ein relativ kleines Bogenstück mit seiner Tangente zu ver- 
tauschen. Es ist die sogenannte „Sumner’sche Linie“, welche zuerst im 
Jahre 1837 von dem Amerikanischen Kapitän Sumner für seinen Schiffsort 
gefunden wurde, als er genöthigt war, in trüber stürmischer Winterzeit und 
muthmafslich nicht mehr weit vom Lande, sich mit einer endlich erlangten 
Sonnenhöhe aufserhalb des Meridians zu behelfen, und bei verschiedenen An- 
aahmen für seine schlecht bekannte Breite so glücklich war, zu bemerken, dafs 
alle damit berechneten Schiffsörter auf der Seekarte sohr nahe iu einer geraden 
Linie Jagen, in welcher sich das Schiff daher irgendwo befinden mulste, soweit 
er sich auf sein gutes Chronometer verlassen konnte. KEin glämzender Erfolg 
bestätigte dies Resultat in der Zeit der Noth und Gefahr durch die Erscheinung 
des zu erwartenden Küstenpunktes in der vorausberechneten und eingehaltenen 
Richtung, Seitdem wurde es natürlich eine Sache von allgemeiner Wichtigkeit, 
in der Nähe des Landes, mit einem so geringen Hülfsmittel einer beliebigen