Ortsbestimmung zus beliebig vielen Höhen, 
1. Das arithmetische Mittel aus einer Reihe von gleich guten direkten 
Beobachtungen einer Größe ist der wahrscheinlichste Werth derselben, 
2, Das arithmetische Mittel hat die Eigenschaft, die Summe der Quadrate 
der Unterschiede zwischen den einzelnen Gröfsen und ihrem arithmetischen 
Mittel zu einem Minimum zu machen. Denn wenn 
(0) (x— ba)? + (x—-bi)l +... + (x—b,)! = min. 
werden soll, also 
2 (x—bı) dx + 2 (x--bz) dx + .. . 2(x—b)dx = 0 
oder kürzer 
zb + x—be + x—bs +... +0x—b) = 0 
sein mufs, so wird: 
x bh +++ 0. Da 
N 
der gesuchte Werth, welcher also die Eigenschaft hat, die Summe der Quadrate 
(und keine anderen Potenzen) von x-—bı, x—b2 u. 8. w. zu einem Minimum zu 
machen. 
3, In Uebereinstimmung mit diesen fundamentalen Sätzen läfst sich in 
allen entsprechenden Fällen, auch wo das arithmetische Mittel nicht unmittelbar 
angewandt werden kann, doch immer so verfahren, dafs die Summe der Quadrate 
der übrig bleibenden Unterschiede ein Minimum wird. Hat man also eine 
Reihe von Beobachtungen angestellt, die den Gleichungen von der Form 
ax—bı = 0 
ax— bh = 0 
asx — bs = 0 
aX—bh = 0 
entsprechen, und ist aıx = bı ebenso gut wie a2x = bs Oder asx =— bs u. 8. W. 
beobachtet, so wird der wahrscheinlichste Werth von x diejenige Zahl, welche 
die Summe 
(a1x-—bı)? + (aex— ba)?! +... + (a.x—b1)" = min, 
macht. Dies führt aber wieder zu der Bedingung wie oben, dals 
(aıx—bı) aı + (a2x—be) as +... + (8,X—b.) a = 0 
oder in Worten: Man multiplieire eine jede der vorgelegten Gleichungen mit 
dem Koffcienten von x und setze die Summe dieser Produkte gleich Null, so 
hat man die Endgleichung zur Bestimmung des wahrscheinlichsten Werthes von 
x, welcher hiernach die Form erhält: 
5 aıbı + aba + 8sbs +... + abe 
7 af pattkasttıe... af 
4. Sind aber zwei von einander unabhängige Gröfsen x und y (ähnlich 
wie in der vorliegenden Aufgabe de und di) zu bestimmen aus einer Reihe 
von Beobachtungen, denen die Gleichungen entsprechen von der Form: 
ax + ıy —bı = 0 
ax + ey—b = 0 
asx + csy— bs = 0 
az+6y— ba = 0, 
so wird many‘ wenr x garine „u bestimmen und y bekannt wäre, nach dem 
Vorgehenden die. x „ygleeuüng erhalten: 
(8:x + ıy —%) dı + (ax + bıy— bı)as + . + + + (8.3 + by — 0.) & = 0, 
und wenn y allein zu bestimmen wäre, so würde die Endgleichung lauten: 
(ax + 0ıy — bi) Cı + (3x + bıy — be) ba +. +. + (9:3 + bey — 0) Da = 0. 
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