Ortsbestimmung aus beliebig vielen Höhen. 
(le point le plus probable) auf der Breite @-+ dp und Länge i-} di, so kann 
man sich noch zweckmäfsig zu jeder Höhe einen vermittelnden oder rektificirten 
Punkt R (le point rapproche) auf der Erde denken, welcher in der azimuthalen 
Richtung ES des beobachteten Gestirns liegt, oder erforderlichen Falls in der 
antgegengesetzten Richtung, immer jedoch so, dafs R ein Punkt ist, wo die 
beobachtete Höhe wirklich stattfinden kann. Im Allgemeinen liegen freilich alle 
Erdörter, wo gleichzeitig dieselbe Größe der Gestirnshöhe erscheint, auf dem 
Umfange eines Kreises, welcher mit der beobachteten Zenithdistanz als Radius 
beschrieben wird, und in dessen Mittelpunkt das Gestirn zur Zeit der Beob- 
achtung im Zenith steht. Der gedachte Punkt R ist also nur ein Punkt dieser 
Kreisperipherie, welcher aber dem geschätzten Punkte E zunächst liegt, und es 
befindet sich der irrig geschätzte Punkt E aufserhalb oder innerhalb dieses 
Kreises, je nachdem die für E berechnete Höhe kleiner oder größer ausfällt, 
als die wirklich beobachtete. Der geschätzte Ort kann also demgemäfs als gut 
oder schlecht angesehen werden, wie die für ihn berechnete Höhe mit der 
beobachteten mehr oder weniger übereinstimmt. 
Berechnet man daher für den Punkt E, 
also mit der geschätzten Breite und Länge, 
das ungefähre Azimuth und die genaue Höhe 
des Gestirns S, so wird ER=—p eine Ver- 
besserung dieser berechneten Höhe durch die 
Beobachtung darstellen, und man erhält, wenn 
z die azimuthale Richtung ES bezeichnet, und 
zwar von Norden durch Osten positiv gezählt, 
wie es bei Erdörtern am üblichsten ist, fol- 
gende erste Bedingungagleichung: 
ER = p = dgp.cosz + di cos @ . sin z, 
Die Gröfßse p wird daher negativ, wenn ER die entgegengesetzte Richtung 
von ES (vom Gestirn hinweg) werden sollte, falls nämlich die für E berechnete 
Höhe gröfser als die beobachtete ist. Kbenso giebt eine gleichzeitige oder 
spätere Höhenbeobachtung desselben oder eines andern Gestirns: 
ER' = p‘ = dg.cosz’‘ -+ di cos g . sin z‘ 
und überhaupt für eine beliebige Anzahl von Höhenbeobachtungen das System 
der Bedingungsgleichungen: 
0 = —p +dgpecosz + dicosgpsinz = dh 
0 = —p‘ + de cos z‘ + di cos gp sin z‘ = dh‘ 7... (1) 
0 = —p"+ dep cos z”+ di cos gp sin z” = dh“ 
etc, 
wo dh, dh‘, dh” ... die Verbesserungen der beobachteten Höhen bezeichnen, 
um die Bedingung zu erfüllen: 
dh? + ah + ah“2 + ,..==min . . . (2) 
Die daraus folgenden beiden KEndgleichungen zur Bestimmung von de 
und di cos @# nehmen die folgende Form an, welcher man sich auch zur Be- 
rechnung dieser Endgleichungen bedienen kann, wenn es nicht vorgezogen wird, 
sie durch unmittelbare Multiplikation aus den nicht zu entbehrenden Bedingungs- 
gleichungen, falls mehr als zwei Höhen in Anwendung kommen, blofs numerisch 
zu erlangen: 
0 = —Xpeosz-+ dp. ocos?z An SA 00SE | (3) 
0 = —2psinz-+ dep. Xsinzcosz + di cos p. Ysin? z a. 
Nachdem hieraus durch gewöhnliche Elimination de und di bestimmt 
sind, ist also @#- de und 4-+ di die gesuchte wahrscheinlichste Breite und 
Länge des Beobachtungsortes P, womit die Aufoohe gelöst ist. 
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Zur kurzgefafsten Begründung dieses Verfahrens „nach der Methode der 
kleinsten Quadrate“, welches zuerst von Legendre (1805) und von Gauss (1809) 
veröffentlicht wurde, ist Folgendes anzuführen: