Auflösungen für das Zweihöhenproblem, 
deklinationen nicht ohne weitere Verbesserung auf den Fall einer Rechnung 
mit veränderlichen Sonnendeklinationen übertragen werden könne, wenn man 
nur etwa eine konstante Sonnendeklination für die Mitte der Beobachtungszeiten 
wählt — vorausgesetzt, dafs es sich um genaue Resultate handelt, welche 
Grunert bis aufs äufserste erreichen wollte. Er geht nun weiter zu einer 
anderen strengen Auflösungsform, indem sin =— (1—x):(1+x) gesetzt wird. 
Hieraus folgt wieder eine quadratische Gleichung nach x, welche freilich nicht 
kürzer als die vorige ist. Nun wird zu den Näherungsmethoden übergegangen 
mittelst Hinzufügung von Differentialen zu der Breite und den Stundenwinkeln. 
Die Entwickelung giebt schliefslich, wenn d=— d‘ gesetzt wurde, die Douwes- 
sche Formel der Zeitbestimmung (pag. 42). Sind damit die Stundenwinkel 
genähert berechnet, so soll zunächst eine längere Differentialformel berechnet 
werden, um die Verbesserung der Breite zu finden; dann soll die Verbesserung 
der Stundenwinkel mittelst der anderen bekannten Differentialformel folgen, 
womit die Rechnung nun aber auch zu Ende ist. Nach Grunert’s Meinung ist 
dies „das allein wirklich richtige Verfahren“ statt der Schlufsrechnung nach der 
Methode von Douwes, der aber bekanntlich gute Gründo hatte, die Rechnung 
in seiner Weise kurz zu Ende zu führen und, wenn nöthig, dieselbe zu wieder- 
holen, — Für die Entwickelung einer anderen Näherungsmethode geht Grunert 
(pag. 49) von der Berechnung der beiden Stundenwinkel mittelst der geschätzten 
Breite aus und bestimmt aus der Vergleichung des gegebenen mit dem berechneten 
Winkel am Pol nach Differentialformeln die erforderliche Verbesserung der 
Breite und demnächst auch der Stundenwinkel in verhältnilsmäfsig kurzen und 
brauchbaren Ausdrücken; nur würden sie keine guten Dienste leisten, wenn 
eine Höhe dem Meridian sehr nahe ist. Grunert macht auch keinen Gebrauch 
davon in dem nachherigen Beispiele, wo dieser Fall eintritt, den er zu über- 
trieben als unerläfslich für die Näherungsmethode von Douwes wiederholt 
betont hatte. — Nun folgt die Lösung einer Aufgabe der analytischen Geometrie 
der Ebene: wenn die Koordinaten der Mittelpunkte zweier Kreise nebst ihren 
Radien gegeben sind, die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Kreise zu 
bestimmen, in sehr ausführlicher Behandlung, wobei aber das Resultat schon 
auf die Form gebracht ist, welche eine Vergleichung mit der Auflösung des 
Zweihöhenproblems gestattet. Es ergab sich dem Verfasser daraus, dafs diese 
Hauptaufgabe durch Konstruktion zweier Kreise in der Ebene lösbar sei, und 
da ihm unter anderen Werken der älteren Zeit z. B. die Schriften von Nonius 
and Robertson®) zufällig nicht bekannt waren, so legte er besonderen Werth 
darauf, gefunden zu haben, dafs diese Konstruktion auch auf zwei Sterne von 
verschiedener Deklination anwendbar sei, während Pemberton’s Konstruktion 
ohne Beweis (nach Collins) nur für die Sonne ausgeführt wäre. — Von den 
hierauf folgenden beiden Rechnungsbeispielen ist das erste vom 17. Mai 1809 
zu Göttingen mit zwei Sternhöhen (es sind Beobachtungen von Harding aus 
dem Berl. Astr. Jahrb. f. 1812, pag. 142), welche die Breite des damaligen 
Beobachtungsortes 51° 32’ 5“ N sehr genau wiedergeben. Eine zweite mög- 
liche Auflösung wird schon deswegen nicht versucht, weil sie negativ würde 
und nach der wiederholten allgemeinen Behauptung sing nothwendig allemal 
positiv sein müsse. Sie würde # = 12° 24‘ 49” S gegeben haben. — Von 
mehr Interesse ist das andere Beispiel mit zwei Sonnenhöhen aus Bohnen- 
berger’s Anltg. z. geogr. Ortsbest., Göttingen 1795, pag. 279, wofür auch 
Littrow in seiner theor. u. prakt. Astron. I, Wien 1821, pag. 188, als Breite 
des Beobachtungsortes (Molschleben bei Gotha) eg = 51° 0‘ 50,3“ überein- 
stimmend mit Bohnenberger gefunden hatte, wie Grunert anführt, mit dem 
Zusatze: „aber ohne es vollständig auszurechnen, indem das Resultat wohl nur 
aus Bohnenberger’s obigem Buche entnommen ist“. Grunert aber findet, 
dafs dies Resultat falsch ist und 51° 3‘ 37,5” heifsen müsse, wie seine strenge 
Rechnung ergeben hatte, womit indessen auch Bohnenberger’s Rechnung nach 
Douwes in Uebereinstimmung zu bringen sei, wenn dort nur am Schlufs der 
Rechnung dieselbe Deklination = 2° 14‘ 9” wie vorher angewandt würde, 
69) Robertson’s Elements of Navig., IX, London 1754, pag. 480: „Given the altitudes of 
two known fixed stars: required the latitude of the place“. Auflösung durch Konstruktion (nach der 
stereogr. Pro).).