Auflösungen für das Zweihöhenproblem. 
5. Ferner ist anzuführen: C. H. Gietermaker, ’t Vergulde Licht der 
Zeevaart, 3. Edit., Door F. van der Huips, Amsterdam 1677 in 4. Dieser hat, 
wie Dr. Breusing ebenfalls bemerkte, schon vor Fatio (1728) die Aufgabe 
durch Berechnung der drei Dreiecke für den Seegebrauch einzuführen gesucht. 
Seite 81 lautet das Problem: „XCVII Vorstel. Leert, als bekent is de Sters 
Dechinatie, en des selfa hooghte tweemael boven den Horizont met sekere tijdt 
tusschen beyden, te vinden de Polus hooghte.“ Die Berechnung geschieht in 
Proportionssätzen der sphärischen Trigonometrie. Seite 83 wird der besondere 
Fall behandelt, wo zwei bekannte Sterne gleichzeitig im Horizont beobachtet 
sind. Der letzte Theil des Werkes enthält Uebungsaufgaben zur Navigation 
(von v. d, Huips), die auf höhere Gleichungen führen, nach Art der Räthsel- 
aufgaben in den Rechenbüchern. Beide Verfasser waren Navigationsexaminatoren 
zu Amsterdam, ebenso wie später Douwes, Floryn und Bangma, 
6. O.S. Bangma, Verhandeling over de Breedte buiten den Middag,%) 
Amsterdam 1812, Diese Abhandlung enthält schon (pag. 35), worauf auch 
Dr. Breusing verwies, dieselbe strenge Formel, auf welche ebenfalls Herr 
Kapt. Heyenga kam (Ann. f. 1883, pag. 152), nur hat Bangma die Zenith- 
distanzen statt der Höhen angewandt. Unbekannt bleibt somit einstweilen nur 
noch der erste geschichtliche Ursprung der anderen strengen Formel (diese 
Ann. f. 1883, pag. 151), wofür sich einstmals mehrere Navigateure besonders 
interessirten. Bangma giebt auch in kürzester Form die Differentialausdrücke 
der Aufgabe für die Breite (nicht für den Zeitwinkel) vollständig, mit Ausnahme 
der Korrektion für einen Fehler in der verflossenen Zeit. Geoschichtlich von 
einigem Interesse ist noch seine Schlufsbemerkung über die Korrektion für die 
Ortsveränderung des Schiffes: „Als men tusschen de beide waarnemingen van 
plants veranderd is, gelijk op Zee met en zeilend schip gebeurt, kaı men den 
verloopenen tijd corrigeren naar de wijze van Douwes; maar beter en tevens 
gemakkelijker is het, dat men de Hoogten van de Zon overbrengt tot dat 
Zenith, waar van men de Breedte verlangt, gelijk men in Denemarken gewoon 
is te doen; wil men bij voorbeld hebben, dat er de Middagsbreedte uit zal 
kamen, moet men de Hoogten herleiden tot het Zenith van den middag“, 
7. J. A. Grunert,®) „Ueber die nautische Aufgabe, aus den gemessenen 
Höhen zweier Sterne und der Zwischenzeit die Polhöhe und die Zeit zu be- 
stimmen“, leitet aus den Grundgleichungen der Aufgabe zunächst die quadratische 
Gleichung für sing her. Eine Bemerkung dabei (pag. 11), „dafs sing und 
folglich auch # immer positiv“ sei (als wenn es neben der positiven oder nörd- 
lichen Breite nicht auch eine negative oder südliche Breite in der Auflösung 
geben könne), erinnert an dieselbe irrige Bemerkung von Mollweide, der 
freilich auch Delambre zustimmte, so daß Gauss sich veranlafst sah, diese 
Regel bei der Auflösung als unstatthaft und der Aufgabe fremd zurückzuweisen 
(vgl. diese Ann. f. 1883, pag. 158).%) Grunert giebt mehrfache Umformungen 
der quadratischen Gleichung für die logarithmische Rechnung, wie auch die 
Differentialausdrücke für die Breite und den Zeitwinkel mit Beziehung auf die 
Aenderungen der Höhe und der verflossenen Zeit, aber ohne Rücksicht auf eine 
Aenderung der Deklination, weil „diese. schon bei der grofsen Genauigkeit 
anserer jetzigen Sternverzeichnisse als fehlerfrei anzunehmen“ seien. Es wurde 
also aus diesem Grunde übersehen, dafs die Rechnung mit konstanten Sterns- 
71 
66) In den „Verhandelingen der erste Klasse van het Hollandsch Institut van Wetenschappen, 
Letterkunde en schoone Kunsten, te Amsterdam, I. Deel, 1812“. ; 
57) Archiv der Mathematik und Physik, Th. 14, Greifswald 1850, pag. 1—92. 
6%) Es würde kaum begreiflich sein, wie eine solche Regel sich wiederholen konnte, wenn 
nicht etwa die inkonsequente Annahme damit verbunden gewesen sein möchte, dafs ein Beobachter 
auf der südlichen Hemisphäre seine südliche Breite als positiv, mithin das für seinen Beobachtungsort 
nicht zulässige Resultat einer nördlichen Breite als negativ betrachten müfste, Da aber die beiden 
Wurzeln der Gleichung auch gleiche Zeichen haben können, so würde jene an sich unzweckmäfsige 
Annahme doch kein ordentliches Kennzeichen der auszuscheidenden Wurzel abgeben; und was 
Delambre (Conn. des Temps 1817, pag. 292) schliefslich darüber sagt, kann nicht zur Recht- 
fertigung der Verwerfung der negativen Wurzel dienen, — Viel besser ist die von Delambre 
‘pag. 306) angeführte Bemerkung des Prof, Burgade in Livorno, dafs man zur Entscheidung über 
die zu wählende Wurzel der Gleichung eine dritte Höhe benutzen könne, wonach dann bei der 
Rechnung mit je zwei Höhen der eine richtige Werth für den Beobachtungsort sich wiederholen 
mufs. Ganz genau würde das freilich nur bei absolut fehlerfreien Beobachtungen eintreten, wo auch 
die drei Sumner’schen Linien aus den drei Höhen sich genau in einem Punkte schneiden müfsten,