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Auflösungen für das Zweihöhenproblem.

einander im Aequator, so bedeutet, nach einem von englischen Mathematikern
seit Napier öfter benutzten Satze, N die Entfernung des mittleren Punktes
zwischen beiden Sonnenörtern vom Fufspunkte des Perpendikels, welches hier
vom Zenith auf den Aequator gefällt ist. Die beiden Formeln ergeben sich
bei,der Annahme einer konstanten Deklination aus der Grundgleichung:
sinh = sin g@ sin d 4 cos g@ cos d cos t
sin h‘ == sin g@ sin d + cos g@ cos d cos ft‘
sin h + sin h‘ Y 4
Sn — ein hr = tg 1 (h+h‘) cotg 1 (h—bh )=__
 2 sin g sin d + cos go cos d (cos t + cos t’)
a cos & cos d (cos t — cos ft‘)
_ 2iggtgd-+cost-+cost‘ _ tggatgd
- cos t — cos t‘ sin m sin v + cofg m colg#,
wenn zur Abkürzung !/s (t‘-+t) = m und !h (t‘—t) == v gesetzt wird; daher
a tg 1 (h+-h‘) cotg Yı (h—h‘) sin m sin v = tg go tg d + cos m cos v
oder
tg !/a (h-+h‘) cotg !/2 (h—h‘) sin m tg v== tg gig d secv + cos m
und wenn man
tg '/a (h-+h‘) cotg !/2 (h—h‘) tg v = cotg N
setzt:
cotg N sin m — cos m = tg g@ tg d sec v,
cos N sin m — sin N cosm = tg gy tg d sec v sin N = sin (m—PN).
Berechnet man daher:
cotg !Yı (h-+h‘) tg Yı (h—h‘) cotg v = tg N,
so wird

also

sin (m—N) = tg wo tg d sin N sec v,
welches die obigen Formeln (1) und (2) sind. Es wird demnach m = N, wenn
dj = Oist, und N = 0 = m, wenn h = h‘ auf verschiedenen Seiten des Meridians.,
Der Ausdruck (1) ist also strenge richtig, und (2) hängt von der Tangente der
yeschätzten Breite @‘ ab, wird aber auch strenge richtig, wenn d = 0 oder
N =0 ist. Verglichen mit der Douwes’schen Formel der Zeitbestimmung ist
die Rechnung nach (1) und (2) freilich etwas länger. Die Differentialformel
dazu wird 2 te (m—N)
— — tg M— :
dm = dt = sin 2 9” „de,

während die Douwes’sche Differentialformel dt = tgm.tge‘.dep‘ gab, so
dafs jene Rümker’sche Zeitbestimmung in manchen Fällen genauer als die
Douwes’sche sein wird; immer freilich nicht, z. B. im zuletzt berechneten
Exempel wurde für die Douwes’sche Formel dt == + 0,12 dg‘ gefunden, und
die Rechnung nach Rümker würde dt = +0,11. de‘, mithin nur gleiche
Genauigkeit geben, wo dann also die kürzere Douwes’sche Rechnung vorzuziehen
 wäre. Da indessen ganz strenge Formeln für die Zeitbestimmung allein
aus zwei Höhen sich nicht so kurz geben lassen, so sind die geschmeidigen
Rümker’schen Formeln (1) und (2) doch sehr bemerkenswerth, wenn auch die
Rechnung danach um die Hälfte länger wird als nach Douwes.
Nachdem nun t bestimmt ist, kann nach Rümker’s Bemerkung die
Breitenbestimmung auf folgende drei Arten geführt werden, nämlich entweder
nach der Formel von Douwes:
3) cos (g—d) = sin h + 2 sin? > cos @’ cos ö

wozu aber jetzt drei Theile erst aufgesucht werden müfsten, welche in der
Douwes’schen Rechnung schon fertig vorliegen; oder wenn man aus der
N
andern Douwes’schen Formel sin m = _sinh— sin h‘__ das Produkt cos@‘cosd
2 cos ‘ cos d sin v
sin h — sin h‘
= Z————— entlehnt:
2 sin m sin ©