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Auflösungen für das Zweihöhenproblem. 
einander im Aequator, so bedeutet, nach einem von englischen Mathematikern 
seit Napier öfter benutzten Satze, N die Entfernung des mittleren Punktes 
zwischen beiden Sonnenörtern vom Fufspunkte des Perpendikels, welches hier 
vom Zenith auf den Aequator gefällt ist. Die beiden Formeln ergeben sich 
bei,der Annahme einer konstanten Deklination aus der Grundgleichung: 
sinh = sin g@ sin d 4 cos g@ cos d cos t 
sin h‘ == sin g@ sin d + cos g@ cos d cos ft‘ 
sin h + sin h‘ Y 4 
Sn — ein hr = tg 1 (h+h‘) cotg 1 (h—bh )= 
__ 2 sin g sin d + cos go cos d (cos t + cos t’) 
a cos & cos d (cos t — cos ft‘) 
_ 2iggtgd-+cost-+cost‘ _ tggatgd 
- cos t — cos t‘ sin m sin v + cofg m colg#, 
wenn zur Abkürzung !/s (t‘-+t) = m und !h (t‘—t) == v gesetzt wird; daher 
a tg 1 (h+-h‘) cotg Yı (h—h‘) sin m sin v = tg go tg d + cos m cos v 
oder 
tg !/a (h-+h‘) cotg !/2 (h—h‘) sin m tg v== tg gig d secv + cos m 
und wenn man 
tg '/a (h-+h‘) cotg !/2 (h—h‘) tg v = cotg N 
setzt: 
cotg N sin m — cos m = tg g@ tg d sec v, 
cos N sin m — sin N cosm = tg gy tg d sec v sin N = sin (m—PN). 
Berechnet man daher: 
cotg !Yı (h-+h‘) tg Yı (h—h‘) cotg v = tg N, 
so wird 
also 
sin (m—N) = tg wo tg d sin N sec v, 
welches die obigen Formeln (1) und (2) sind. Es wird demnach m = N, wenn 
dj = Oist, und N = 0 = m, wenn h = h‘ auf verschiedenen Seiten des Meridians., 
Der Ausdruck (1) ist also strenge richtig, und (2) hängt von der Tangente der 
yeschätzten Breite @‘ ab, wird aber auch strenge richtig, wenn d = 0 oder 
N =0 ist. Verglichen mit der Douwes’schen Formel der Zeitbestimmung ist 
die Rechnung nach (1) und (2) freilich etwas länger. Die Differentialformel 
dazu wird 2 te (m—N) 
— — tg M— : 
dm = dt = sin 2 9” „de, 
während die Douwes’sche Differentialformel dt = tgm.tge‘.dep‘ gab, so 
dafs jene Rümker’sche Zeitbestimmung in manchen Fällen genauer als die 
Douwes’sche sein wird; immer freilich nicht, z. B. im zuletzt berechneten 
Exempel wurde für die Douwes’sche Formel dt == + 0,12 dg‘ gefunden, und 
die Rechnung nach Rümker würde dt = +0,11. de‘, mithin nur gleiche 
Genauigkeit geben, wo dann also die kürzere Douwes’sche Rechnung vorzu- 
ziehen wäre. Da indessen ganz strenge Formeln für die Zeitbestimmung allein 
aus zwei Höhen sich nicht so kurz geben lassen, so sind die geschmeidigen 
Rümker’schen Formeln (1) und (2) doch sehr bemerkenswerth, wenn auch die 
Rechnung danach um die Hälfte länger wird als nach Douwes. 
Nachdem nun t bestimmt ist, kann nach Rümker’s Bemerkung die 
Breitenbestimmung auf folgende drei Arten geführt werden, nämlich entweder 
nach der Formel von Douwes: 
3) cos (g—d) = sin h + 2 sin? > cos @’ cos ö 
wozu aber jetzt drei Theile erst aufgesucht werden müfsten, welche in der 
Douwes’schen Rechnung schon fertig vorliegen; oder wenn man aus der 
N 
andern Douwes’schen Formel sin m = _sinh— sin h‘__ das Produkt cos@‘cosd 
2 cos ‘ cos d sin v 
sin h — sin h‘ 
= Z————— entlehnt: 
2 sin m sin ©