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Auflösungen für das Zweihöhenproblem. 
fall nicht unwesentlich von dem vorigen unterscheidet. Die Azimuthe und die 
Differential-Ausdrücke werden nun folgende: 
A = —79° 55’ A‘ =— + 95° 34 A‘— A = + 175° 29‘ 
de = +0,71.dg‘ — 12,64. dh — 12,51 ah’ 
dt = +0,12. dg‘ — 1,28.dh — 2,31 dh‘ 
In naher Uebereinstimmung mit der 
vorhergehenden Rechnung nach Dou- 
wes, aus h= 75° 23,0‘ und h‘=31° 48,8‘ 
nebst t‘—t=75°0‘ und d= +13° 0 
bei vorausgesetzter nördlicher Breite, 
ergiebt sich auch das Resultat der di- 
rekten trigonometrischen Berechnung 
der Figur, wo die beiden möglichen 
Lagen des Zeniths die Durchschnitts- 
punkte Z und Z‘ der um die beiden 
Sonnenörter S und SS‘ beschriebenen 
Kreise sind, und P den nördlichen Pol 
bezeichnet. Der kleine Winkel= 1°11,6‘ 
zwischen SS‘ — 72° 45,8‘ und SZ = 
14° 37,0‘ ist für den ersten Auflösungs- 
fall zu dem Winkel von 80° 12,4‘ zwi- 
schen SS‘ und der Polardistanz zu 
addiren und in der zweiten möglichen 
Auflösung zu subtrahiren. Mit der 
Summe = 81° 24,0‘ findet sich dann die erste Breite = 14° 1,7‘ N (nur um 0,2’ 
von der Rechnung nach Douwes abweichend) und die Stundenwinkel werden 
b= — 110" 0* nebst t‘=— +40" 0°. Mit der Differenz der Winkel = 79° 0,8‘ 
ergiebt sich die zweite mögliche Breite = 16° 2,6‘N (welches auch nur 0,4‘ von 
der Rechnung nach Douwes abweicht) und die dazu gehörigen Stundenwinkel 
it — — 0459" 5,2° nebst t‘ — + 40“ 54,8% — Ebenfalls zeigt die Figur, dafs 
zwar beide Punkte Z und Z‘ gleichweit von dem gröfsten Kreise entfernt sind, 
welcher die beiden Sonnenörter mit einander verbindet, aber die Lage von Z’‘, 
wozu die gröfsere Breite gehört, insofern für die Douwes’sche Auflösung 
yünstiger ist, als das Azimuth von S sich dabei um 8° weiter von einem rechten 
Winkel entfernt hat, wenn auch die Azimuth-Differenz (A’— A) ein wenig 
ungünstiger geworden ist, — Da die Deklination als konstant angenommen 
wurde, so wäre noch die kleine Korrektion de = — 0,63. =? g den Resultaten 
der verschiedenen genäherten oder strengen Auflösungen gemeinsam hinzuzufügen. 
Der merkwürdige Verlauf der Wiederholungen aber bei der Rechnung 
nach Douwes lässt sich nun für diese Aufgabe schließslich so angeben: mit 
einer geschätzten Breite, welche kleiner ist als die erste genaue Auflösung 
‘= 14° 1,7‘ N) entfernen sich die Resultate immer weiter abnehmend bis 
cos (p— d) gröfser als 1, also unmöglich wird; wenn dagegen die geschätzte 
Breite gröfser als 14° 1,7‘ angenommen wird, so entfernen sich die Resultate 
zwar auch von diesem Werthe durch immer größer werdende Breiten, bis man 
endlich zu der zweiten genauen Auflösung (= 16° 2,6‘N) gelangt, und hier- 
über hinausgehend führen die Wiederholungen doch nur auf diesen letzten 
Werth zurück. 
Fig 2. 
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5. Die Regeln und Tafeln von Douwes. Die beiden Regeln von 
Bangma. Andere vorgetragene Regeln und deren Berichtigung. 
Versuchte Abänderung der Formeln von Douwes; Bohnenberger 
1795, Delambre 1809, Van Tuyll van Serooskerken 1823, 
Rümker 1850. 
Douwes!®) suchte die ungünstigen Fälle, welche bei der Aufgabe über- 
haupt und auch besonders bei seiner Berechnungsweise derselben vorkommen 
können, dadurch zu vermeiden, dafs er folgende vier Regeln aufstellte: 
3 Douwes, Verhandeling, pag. 212 und 213.