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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Februar 1940, 
und allgemein gilt für die Werte Wa aus Sa 
Sa 
3M 1 L en 1 \ _ 3M _ @—7)* 
Wett +azy) "ILL 
SM 1 +6 
Mal<3 (a) 
Nach k-facher Wiederholung des Verfahrens gilt also für die Werte auf dem 
n-ten Streckenzug ; ı x 
mal 
Die WF werden beliebig klein durch entsprechend große Wahl von k, wenn 
nur =. (ze! ist. Für e<0 ist dieses sicher der Fall; da = AP 
ist, ist für negative und verschwindende 4 die Konvergenz erwiesen. Für positive 
2-Werte kann der Ausdruck kleiner, gleich oder größer als 1 werden, und zwar 
hängt das außer von Ä noch von | und n ab, d.h. von der Maschenweite und 
der Anzahl der Streckenzüge, oder was dasselbe ist, von der Größe und Gestalt 
des Gebietes ® Bei einer allgemein gehaltenen Abschätzung läßt sich das aber 
nicht auswerten, 20 daß nur gesagt werden kann, daß das Verfahren für. alle 
negativen Ä-Werte koönvergiert, Oben wurde bereits erwähnt, daß für die 
Differentialgleichung (5) Eigenwerte und Eigenfunktionen. vorhanden sind, etwas 
Entsprechendes gilt nun auch für das aus der Differenzengleichung (7) herzu- 
leitende lineare Gleichungssystem, Setzen wir die Randwerte, d.h. also die Funk- 
tionswerte aus 6, gleich Null, so wird das lineare Gleichungssystem homogen, 
Nach einem bekannten Satz aus der Theorie der linearen Gleichungen gibt es 
nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante verschwindet; dabei 
hat die Determinante genau so viele Nullstellen, wie innere Gitterpunkte vor- 
handen sind; die Nullstellen werden hier ebenfalls Eigenwerte und die zugehörigen 
Lösungen Eigenvektoren genannt. Es soll nun an einem einfachen Beispiel ge- 
zeigt werden, daß der kleinste Eigenwert gleichzeitig die obere Grenze für die 
A-Werte angibt, für die das Näherungsverfahren noch konvergiert; es besteht die 
Vermutung, daß der kleinste Eigenwert in allen Fällen diese ausgezeichnete Rolle 
spielt. Als Beispiel wird die Differenzengleichung für eine Dimension gewählt; 
sie entsteht aus der Differentialgleichung £” + 2f=0, Wir nennen die beiden 
Randwerte f, und fz und wählen zwei innere Punkte mit den Werten f, und. fy 
aus; die Differenzengleichungen lauten 
| Be A  — A, - 
Im homogenen Fall müssen die Randwerte verschwinden, also fj=fz= 0 sein, 
und das Gleichungssystem lautet: 
if ale, a=— A, 
Die Determinante lautet 1— 0% sie verschwindet also für a= +1; es wird dann 
fe 4A fa. Wird dieses Gleichungssystem nach dem Näherungsverfahren gelöst, 
so ergibt sich {= afk+3, fKti= gft+?*, Für f, und £f, werden die Rekursions- 
formeln gefunden: fk= g2fkt+2 dktim q?{k4+2 Wenn «> 1 ist, konvergiert also 
das Näherungsverfahren für beliebig vorgegebene Anfangswerte f?, 19, Ist a== +1, 
so sind alle fi einander gleich; für a1 findet Divergenz statt, Für den &us- 
gezeichneten Wert a:=-+1 folgt 2°=1. Aus dieser Beziehung ‚geht hervor, 
daß die Konvergenz des Näherungsverfahrens außer von dem Vorzeichen und 
der Größe von 2 von der Maschenweite | des Gitters abhängt. Wenn somit 
dieses Näherungsverfahren in seiner Anwendung beschränkt ist auf die Jang- 
periodischen und auf die eintägigen Tiden nördlich oder südlich 30° Breite, so 
hat doch die Praxis gezeigt, daß es außerordentlich gut brauchbar ist, weil es 
bei Jeidlich guten Näherungswerten sehr schnell die Lösung mit ausreichender 
Genauigkeit liefert. Außerdem ist die Anwendung des Näherungsverfahrens nicht 
auf den. in der vorliegenden Arbeit behandelten Fall konstanter Tiefe beschränkt, 
sondern. es kann auch zur Lösung der Differentialgleichungen benutzt werden, 
oder