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Die harmonische Analyse der Gezeitenbeobachtungen. 
88. 
Numerische Ausführung der harmonischen Analyse für die Tiden 
von kurzer Periode. 
Wir haben nun zu zeigen, wie die Zahlenwerthe für die im Vorher- 
gehenden entwickelten Tiden aus dem gegebenen Beobachtungsmaterial abgeleitet 
werden können. 
Als gegeben setzen wir Aufzeichnungen des Wasserstandes für jede 
Stunde mittlerer Sonnenzeit während eines Jahres voraus, welche entweder durch 
direkte Beobachtung an einem Pegel oder durch Entnahme aus den von einem 
selbstregistrirenden Fluthmesser gelieferten Wasserstands-Kurven erhalten sein 
zönnen. Die Aufgabe ist nun, aus diesem Material für jede Tide 24 Mittel- 
werthe zu bilden, von denen jeder für ein bestimmtes !/a« der Periode der 
Tide von 0 bis 23 gilt. Wir nennen !/s4 der Periode eine Tidestunde und 
anterscheiden je nach der Tide M-Stunden, S-Stunden u. 8. w. 
Dies geschieht, wie sogleich näher beschrieben werden wird, dadurch, 
dafs wir die unmittelbar gegebenen Wasserstände für jede Tide in besonderer 
Weise in Formulare eintragen, welche für jede Tidestunde‘ eine Vertikal- 
Kolumne enthalten. Die in jeder Kolumne stehenden Zahlen werden addirt 
ınd durch Division mit der Anzahl der in dieselbe eingetragenen Beobachtungen 
Jas Mittel für jede Vertikalspalte gebildet; dann darf angenommen werden, 
Jafs in diesen Mittelwerthen der KEinflufs aller andern Tiden mit Ausnahme 
jerjenigen, welche wir suchen, eliminirt ist, sobald nur die Anzahl der Beob- 
achtungen, d. h. der Zeitraum, über welchen sie sich erstrecken, hinreichend 
groß angenommen wird; wir nehmen dafür den Zeitraum von nahe einem Jahre 
an. Die 24 so erhaltenen Mittelwerthe, welche für die Tidestunden 0* bis 23% 
gelten, geben dann den Verlauf der gesuchten Tide innerhalb einer ganzen 
Periode derselben oder während eines Tidetages. Der Ausdruck für den 
Wasserstand hs zu einer bestimmten Tidestunde t unter Berücksichtigung der 
von der vierten Potenz der Entfernung abhängigen und der Neben-Tiden ist: 
ht = An -+ Rı cos (nt — &ı) + Rz cos (2nt — %2) + Rs cos (3nt — 43) 
+....-4+ Re cos (8nt — $8). 
Hierin ist n = 15° und t successive = 0, 1, 2, 3.... 23 zu setzen, 
am die Wasserstände für jede einzelne Tidestunde zu erhalten. 
Setzen wir Rı cos &ı = Ay Rı sin ı = Bı, Ra cos &ı = Az, Re sin Sa 
—Ba u. 8. w., so können wir auch schreiben: 
(59) ht = Ao-+ A1cos nt + Ag cos 2nt + As cos 3nt +... + As cos 8nt 
+ Byı sin nt + Be sin 2nt + Bas sin 3nt +... + Bes sin 8nt 
and es ist unsere Aufgabe, die Koöfficienten Ao, Aı, Az... As, Bı, Ba... Bs 
aus den 24 Werthen für b; zu ermitteln. 
Indem: wir zur Lösung dieser Aufgabe die Methode der kleinsten Quadrate 
anwenden, gelangen wir zu sehr einfachen Ausdrücken, welche wir nun ableiten 
wollen. Es wird nützlich sein, ein Paar für die Summirung von Reihen von 
Cosinussen und Sinussen, deren Winkel in arithmetischer Progression wachsen, 
zültige Sätze vorherzuschicken, welche später noch Verwendung finden werden, 
wenn wir zu der Ableitung der Tiden von längerer Periode kommen, 
Es sei die Summe der Reihen 
1 + cos x + cos 2x + cos 3x +... + cos tx 
sin x + sin 2x + sin 3x +... + sin tx 
zu suchen, in denen der Winkel jedes folgenden Gliedes um x gröfser ist als 
der des vorhergehenden, 
Multipliciren und dividiren wir jede Reihe mit sin !/ax, wodurch nichts 
zeändert wird, und bezeichnen wir eine Summirung zwischen den Grenzen i = 0 
i=t 
and i = t wie üblich durch 3, so wird: 
und