Auflösungen für das Zweihöhenproblem,
Er bediente sich dazu der Berechnung der geradlinigen Dreiecke in der damals
beliebt gewordenen orthographischen Projection der Kugelfläche, um die sphä-
rische Trigonometrie zu vermeiden. In der hier beigefügten Figur aus seiner
Abhandlung bezeichnet L W_den Aequa-
tor, HG ein Stück des Deklinations-
parallels, H den Ort der Sonne um
Mittag, A und B die Sonnenörter in der
Projection, H a b aber den niedergelegten
Deklinationsparallel. Demnach ist die
Sehne a b= 2 sin 4 (t‘—t) cos 0, weil alle
Linien des kleinen Kreises sich in dem
Verhältnifs von cos d verkleinern; ferner
ist AC=sin.h—sinh‘. Da nun auch die
angenommene Breite g‘=— Winkel CAB
ist, so hat man AB = (sin h— sin h‘)
sec ‘= ar und = = sin ' (t* + %),
weil der Peripheriewinkel a br dem halben Centriwinkel HG m gleich ist, wo
m die Mitte des Bogens ab bezeichnet und G den Mittelpunkt des Deklinations-
parallels in der Projektion. Es folgt daher schon die erste zu berechnende
Formel von Douwes: \nhaeinh
; 3 , — sın h—sın h‘ "_—_ & .
1. sin ’h (+1) = Fein 4% (1) cos 7 0080 für die Zeitbestimmung,
indem nun durch Subtraktion !/a(t‘ +) — !/2 (t‘ — t) der Stundenwinkel t ge-
funden wird. Damit ist dann ferner H A = sin vers Ha =— 28in?!/ tcos d und
endlich HF=HAcosFHA=HA cosg‘ bekannt, mithin auch der Sinus der
Mittagshöhe; also entstand die zweite Douwes’sche Formel:
2, cos (p—0) = sin h + 2sin® & cos g‘cosd=FK+4+HF ;
für die Bestimmung der wahren Breite , da d bekannt ist, und man aus der
geschätzten Breite wissen soll, ob & oder d das gröfsere von beiden sei,
während die Formel es allerdings unbestimmt läfst, ob & — d oder d—@ ge-
funden wurde. ,
Beide Gleichungen werden strenge richtig, wenn die genäherte Breite &'
mit der wahren Breite @# genau übereinstimmt.
Sollte die zweite Höhe h‘ die gröfsere von beiden Höhen gewesen sein,
so hätte man '/2(t‘-+t) negativ gefunden, und da Ya(t‘—t) immer positiv
bleibt, so‘ giebt wieder die Subtraktion des kleineren vom gröfseren den Rest t‘
als den kleineren Stundenwinkel, womit nun:
4
2*) cos (pg — d) = sinh‘ +2 sin? 008 ‘cos d ;
Es ist aber praktisch wesentlich für diese Methode, dafs schliefslich
allemal, nach der Regel von Douwes, die gröfsere Höhe, also mit dem
kleinen Stundenwinkel, zur Anwendung komme, um: mit einer kleineren Zahl
als Zusatz zum Sinus der Höhe zu rechnen, während die Benutzung der kleineren
Höhe eine gröfsere, vielleicht erst zu interpolirende Zahl erfordern würde, Im
übrigen wird freilich der schliefsliche Einflulßs auf die Breite nach dem einen
oder anderen Verfahren theoretisch sich gleich bleiben, nämlich dadurch kom-
pensirt (wie die nachherige Differentialformel zeigt), dafs der Sinus der kleineren
Höhe sich auch schneller ändert als der Sinus der gröfseren Höhe, so dafs der
Nachtheil, mit der kleineren Höhe zu rechnen, nicht so bedeutend ist, wie es
zuerst scheinen möchte. Hiermit erledigt sich auch wohl die frühere Contro-
verse von Pemberton?) gegen Douwes, dafs die kleinere Höhe eben so gut
zu gebrauchen sei, und der Vorwurf von Nieuwland,%) dafs Pemberton den
wahren Geist von Douwes’ Methode picht ganz gefafst habe, da die Annäherung
mit der einen oder andern Höhe verschieden ausfiele.
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?) Phil. Transact, f, 1760, pag. 910.
3) Sammlung astron. Abhandl.. herausg, von J. E. Bode. I. Supyl. Bd. Berlin 1793, pag. 73.
