Auflösungen für das Zweihöhenproblem. 
praktischen Falle mit ganz verschieden angenommenen genäherten Breiten und 
derselben Höhe der Sonne die verschiedenen Längen und bemerkte, dafs die 
hieraus sich ergebenden Punkte auf der Seekarto in einer geraden Linie lagen, 
in welcher sich demnach das Schiff nothwendig irgendwo befinden mufste, wenn 
das Chronometer richtig war. Die etwaige Unsicherheit des Chronometers 
würde nur eine entsprechende parallele Verschiebung nach Osten oder Westen 
für diese merkwürdige Linie ergeben, welche man seitdem als Höhenlinie, Orts- 
linie, Positionslinie, Standliuie oder Sumner’sche Linie zu bezeichnen pflegt. Ihr 
Urheber hob mit Recht die von ihm schon erprobte Wichtigkeit dieser Linie 
beim Ansegeln einer Küste hervor, wo dies schätzbare Hülfsmittel durch nichts 
Anderes zu ersetzen ist. Im Vergleich mit diesem neuen und sehr bedeutenden 
Fortschritt in der Nautik ist es begreiflich, dafs für Sumner die hierbei sich 
von selbst darbietende besondere Auflösung des alten Zweihöhenproblems eigent- 
lich nur Nebensache war; denn es lag ja auf der Hand, dafls durch eine zweite 
Höhe gleichfalls eine zweite entsprechende Ortslinie bestimmt wurde, und der 
Durchschnittspunkt beider Linien den observirten Schiffsort in der Karte an- 
zeigen mufste. Gleichwohl ist diese, durch Rechnung und schliefsliche Konstruktion 
in der Karte auszuführende Sumner’sche Lösung des Zweihöhenproblems als 
ein schr übersichtliches Verfahren allmählich immer mehr bevorzugt worden. 
Uebrigens läfst sich der konstruirende Theil derselben auch durch eine leichte 
Proportionsrechnung ersetzen, wenn man durch Rechnung die Lage des Schnitt- 
punktes etwas schärfer bestimmen will, als es durch Konstruktion möglich ist. 
Dann aber fällt die Sumner’sche Berechnung des Zweihöhenproblems im wesent- 
lichen mit der Näherungsmethode von Lalande zusammen und wird also 
ebenfalls unbrauchbar, wenn die eine der Höhen dem Meridian zu ungünstig 
nahe ist, um noch eine sichere Zeitberechnung aus der Höhe zu gestatten. Es 
mufs daher in diesem Falle auch bei Sumner’s Methode die dem Meridian 
nahe Höhe zur Breitenbestimmung benutzt werden, mittelst des aus der andern 
Höhe bekaunt gewordenen Stundenwinkels d. h. die Näherungsmethode von 
Borda hat dann wieder einzutreten. Hierbei wird man am besten von den 
beiden Längen ausgehen, welche mittelst der andern Höhe schon gefunden sind, 
und dann den zu jeder Länge gehörigen kleinen Stundenwinkel der gröfsern 
Höhe für die Breitenbestimmung benutzen, wonach die entsprechende Sumnersche 
Linie, welche in diesem Falle bei der geringen Breitenverschiedenheit nahe Ost 
und West läuft, sicher bestimmt ist. Auch die etwa noch wünschenswerthe 
kleine Berechnung der Lage des Schnittpunktes nach Länge und Breite wird 
bei dieser Anordnung am einfachsten, 
Die weitere Vergleichung der hier nur übersichtlich angeführten haupt- 
gächlichsten Näherungsmethoden ergiebt, dafs die Douwes’sche Methode zwar 
auf Beobachtungen eines und desselben Gestirns eingeschränkt ist, aber inner- 
halb gewisser Grenzen an Sicherheit und Kürze nichts zu wünschen übrig läfst, 
während die übrigen Näherungsmethoden sich auch auf Beobachtungen von zwei 
verschiedenen Gestirnen unverändert anwenden lassen, jedoch nur die eine oder 
die andere Form zu gebrauchen ist, je nachdem entweder keine von beiden 
Höhen dem Meridian sehr nahe war, oder die eine Höhe in der Nähe des 
Meridians beobachtet wurde. Endlich gestattet der Fall, wo beide Höhen dem 
Meridian sehr nahe sind, eine besondere abgekürzte Behandlung. 
2, Aeltestes Näherungsverfahren: die Methode von Douwes, Auf- 
stellung anderer Formeln statt der zweiten Douwes’schen Formel: 
Pemberton 1760, Delambre 1814, Anger 1839. Die beiden Differential- 
formeln zur Zeit- und Breitenbestimmung wegen der Anwendung der 
geschätzten Breite. Gebrauch der Differentialformel zur Vermeidung 
der Wiederholung der Rechnung. Die Vorschriften in den Requisite 
Tables 1781. Bearbeitungen von Brinkley und Mendoza 1791, von 
Nieuwland 1793. 
Obgleich in der Mathematik und Astronomie schon von Alters her ein 
indirektes oder genähertes Verfahren bei der Lösung mancher Aufgaben als 
das beauemste gebräuchlich, und zuweilen das einzig mögliche Hülfsmittel war, 
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