284 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, September/Oktober 1918, 
Die Differentialformeln des nautisch-astronomischen Grunddreiecks. 
Ein Beitrag zur Didaktik der Nautik und mathematischen Geographie. 
Von Dr. J. Möller in Elsfleth, 
(Hierzu Tafel 7.) ; 
Die in den meisten Lehrbüchern der Trigonometrie und sphärischen 
Astronomie und in den Tafelsammlungen (z. B. denen von Albrecht, Ambronn 
u. a.) angegebenen Differentialformeln des. sphärischen Dreiecks gelten für den 
Fall, daß sämtliche Stücke des Dreiecks als veränderlich angesehen werden. 
Diese Formeln enthalten je vier Differentiale 
(z. B. da = cos C db + cos Bde + sin b sin CdA). 
In der angewandten sphärischen Trigonometrie hat man es jedoch meist 
mit solchen Fällen zu tun, in denen zwei Stücke des Dreiecks konstant bleiben 
und nur vier veränderlich sind. Die Anzahl der Differentiale in den einzelnen 
Formeln sinkt dann von vier auf zwei. Das gilt auch für das für die Nautik 
so wichtige sphärisch-astronomische Grunddreieck, Da es für dieses meines 
Wissens noch keine Zusammenstellung aller wesentlichen Differentialformeln 
gibt und da die wenigen, die sich in Lehrbüchern und Tafelsammlungen finden, 
rein analytisch abgeleitet sind, so halte ich es für wichtig, nicht nur alle wesent- 
lichen Differentialformeln einmal zusammenzustellen, sondern auch, was von nicht 
unbeträchtlichem didaktischen Wert ist, ihre geometrisch-trigonometrische Be- 
deutung zu zeigen und sie aus der Betrachtung der Beziehungen zwischen Lage 
und Größe des unveränderten und des um Differentiale veränderten Dreiecks 
anschaulich abzuleiten, , 
Wenn auch für den jetzigen Stand des nautischen Unterrichts einige 
wenige dieser Beziehungen genügen, so gehört zur Beherrschung des Stoffes mit 
Rücksicht auf die Möglichkeit neuer Aufgaben die Kenntnis sämtlicher Be- 
ziehungen zwischen den Änderungen der Stücke des astronomischen Grund- 
dreiecks. Hierfür ist die Anwendung der Symbole der Differentialrechnung von 
größtem Vorteil. Ihre Benutzung auch vor Schülern mit nur elementar-mathe- 
matischer Bildung verdient noch nicht den Vorwurf des „Einschmuggelns ver- 
kappter Differentialrechnung“, der gelegentlich aufgetaucht ist, da ja das, was 
das Wesen der Differentialrechnung als einer höheren Art von Mathematik aus- 
macht, nämlich die Untersuchung des Grenzbegriffs, ohne Schaden der Sache 
ausgeschieden werden kann. Es genügt, das Differential de eines Winkel a als 
einen Winkel zu definieren, der so klein ist, daß innerhalb der Grenzen der ge- 
forderten Genauigkeit sein Kosinus gleich 1 und sein Sinus gleich dem Bogen 
gesetzt werden kann, Daraus folgt dann 
sin (x -— da) — siua-- cosada, cos (a + da) = cosa Fsinada. 
Weiter wäre zu zeigen, daß Produkte zweier Differentiale gleich Null ge- 
setzt und kleine Kugeldreiecke, deren Seiten Bogen von Haupt- oder Neben- 
kreisen sind, als ebene Dreiecke aufgefaßt werden dürfen, wenn ihre Seiten von 
der Größenordnung eines Differentials sind. Das ist das ganze mathematische 
Rüstzeug, das außer der eigentlichen elementaren Mathematik gefordert zu 
werden braucht. 
Bei der Ableitung der hier in Frage kommenden Differentialformeln soll 
im folgenden zunächst untersucht werden, was Differentiale von Seiten und 
Winkeln des astronomischen Grunddreiecks geometrisch bedeuten, Didaktisch 
wichtig ist hierbei die Betrachtung der Änderung in der Lage und Größe nicht 
nur dieses Dreiecks sondern auch der Höhengleiche, d. h. des Kreises, der um 
die Projektion des Gestirns auf die Erde mit der Zenitdistanz beschrieben wird, 
also des geometrischen Ortes oder der Standlinie für alle Orte der Erde, an 
denen zu einer gegebenen Zeit die gleiche Höhe eines Gestirns beobachtet wird. 
Fruchtbar für die anschauliche Darstellung ist die Beantwortung der 
Frage: „Was bedeutet die Verschiebung eines sphärischen Dreiecks mit einem 
Eckpunkte längs eines Hauptbogens für die beiden anderen Eckpunkte?“ Die