404

5.  Die  geometrische  Bedeutung  der  drei  Hilfswiukel  ergiebt  sich  auf
folgende  Weise:
Iu  dieser  Figur  sei  P  der  Pol,
Z  das  Zenith,  S'  der  Stand  der
Sonne  bei  der  zweiten  Beobachtung; ­
  PX  sei  der  Deklinationskreis, ­
  welcher  den  Stundenwinkel
zwischen  beiden  Sonnenständen
halbirt,  also  S'PX  —  —  und
ZPX  —  —;g  .  Aus  Z  und  S'
seien  die  sphärischen  Lothe  ZU
und  S'V  auf  PX  gefällt.
Nach  der  Definition  ist:

h—h'

h-fh'

sin  tyl

sin  —2—  cos  9
,  .  t'—t
COS  O  Sin  —g-=

  cos  cp  sin  ;

nach  der  Neper’sehen  Regel  gilt  für  das  Dreieck  PZU  die  Gleichung
•  vrT  •
sin  ZU  =  cos  <p  sw  —g—  •
Demnach  ist  pi  —  ZU.

Der  Winkol  ipa  wird  definirt  durch  die  Gleichung:
,  tg  d
cotg  tp2  —  -  t ,_ t ;
003
die  Neper’sehe  Regel  giebt  für  das  Dreieck  PS'V
<308^=  tg  d  .  tg  PV.
Der  Vergleich  beider  Formeln  läfst  erkennen,  dafs  pa  =  PV.

Die  Bedeutung  des  Ililfswinkels  pa  folgt  aus  der  Gleichung:
im  Dreieck  PZU  ist  aber

.  .  _  ,  v  sin  ®
COS  (pa  +  pa)  =  ■
\T  rr  J  COS  pl  ’

sin  (p  —  COS  PU  .  COS  pl.

Wir  erhalten  demnach  pa  ip  pa  —  PU  und  mit  Benutzung  von  pa  —  PV
den  absolut  genommenen  Werth  pa  =  UV.
Wird  bei  der  Auflösung  der  Aufgabe  ips  von  pa  subtrahirt,  so  ergiebt
sich  diejenige  geographische  Breite  <p%  für  welche  die  Projektion  U  zwischen
P  und  V  fällt.  Wird  pa  zu  \p%  addirt,  so  erhält  man  die  geographische  Breite
<p",  für  welche  V  zwischen  P  und  U  liegt.
Da  pa  immer  positiv,  also  pa  —  pa  <  pa  +  ipa  ist,  so  folgt  aus  der
Gleichung  sin  <p  —  cos  pi  cos  (tpi  +  pa),  in  welcher  auch  cos  tpi  positiv  ist,
dafs  der  erste  Werth  <p‘  die  nördlichere  der  beiden  geographischen  Breiten  ist.

und
90°

ln  dem  Falle  pa  -f-  ps  <90°  sind  beide  nördlich;  im  Falle  ps  —  pa  <  90°
pa  +  ps  >  90°  ist  die  erste  nördlich,  dio  zweite  südlich;  im  Falle  pi  —  pa  >
sind  beide  südlich.
Ist  pi  =  0  oder  p$  =  0,  so  fallen  beide  Lösungen  in  eine  einzige
zusammen.  Die  Bedingungsgleichung  p2  =  0  ist  nur  dann  erfüllt,  wenn
.  h—h'  li-j-h'
t'_t  sm  —2  008  2~
=  90°  ist.  In  diesem  Falle  mufs  sin  pi  =  g  und  cos  Wa
9  T  cosS

h—h'  .  h-f-h'
cos  —2—  sin  —-g—
•  J  i  sein.  Aus  der  Gleichung  sin  <p  —  cos  pi  cos  pa  folgt  dann
sin  0  oos  ^  1