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mit entgegengesetztem Zeichen hervortritt, wenn die Winkel au deu wahren
Gestirnsörtern genommen worden. Bezeichnen daher S m und M,„ die Winkel an
denjenigen Punkten, welche zwischen den scheinbaren und wahren Oerteru in
der* Mitte liegen, so hat man
D' = D -f r cos Sm — p cos M ro
und damit die Formel von Logendrc und zugleich die in Rede stehende
Methode von Airy.
Legendre erhob hei dieser Gelegenheit das Verfahren der Anwendung
von solchen Mittelwcrthcn zu einem allgemeinen Princip. Er zoigto durch die
Entwickelung einer beliebigen Funktion von zwei unabhängigen Variabein
x und y nach dem Taylor’schon Lehrsätze, dafs die Aenderung dz eines
Funktionswcrthes z infolgo der endlichen kleinen Aenderungen dx und <Jy, sehr
genau schon durch die ersten Differentialquotienten, berechnet werden kann,
falls man dabei nur überall x -f- ‘/»fa, y -f l hdy und z -{- '■¡■¿dz statt der ursprüng
lichen Werthe anwendot, indem hiermit der Fehler nur ein Viertel des Gc-
sammtbetrags der dritten Ordnung dieser kleinen Gröfsen ausmacht. 3 ) Diese
ersten Differentialquotienten sind im obigen Falle durch cos S m und cos M m
darges teilt.
Airy zog es hier vor, ganz elementar für den vorliegenden konkreten
Fall die folgende Grundgleichung zu behandeln, welche aus der Gleichheit der
Winkel am Zenith für die beideu Dreiecke entsteht, deren eines die scheinbaren
Gröfsen und das andere die wahren enthält:
„ cos D — sin II sin h cos D' — sin II' sin h'
COS Zl • ' - vv r * *" " YTj r} *
cos H cos h cos JET cos h'
oder nach der zum Zweck der weiteren Entwickelung von Airy gewählten
Bezeichnung:
cos (C—c) — sin (A—a) sin (B-{-b) cos_(C-f-c) — sin (A+a) sin (B—b)
cos(A—ajcos(B-f-b) cos (A-f a) cos (B—b)
Es läfst sich also die Bedeutung der gewählten Bezeichnungen so
zusammenstollen:
2 A = H' -}- II die Summe der wahren und scheinbaren Mondshöhe,
2 a = H' — H ihre Differenz,
2 B = h -f- h' die Summe der scheinbaren und wahren Sonnen- oder
Sternshöhe,
2 b = h — h' ihre Differenz,
2 C = D'-fD die Summe der wahren und scheinbaren Distanz,
2 c = D' — D ihre Differenz.
Werden nun die in der angeführten Grundgleichung verkommenden
Summen und Differenzen der trigonometrischen Funktionen entwickelt, so gelaugt
man, nach Aufhebung der zu beiden Seiten erscheinenden völlig gleieheu Theile,
zu der noch immer strengen Gleichung, wie sie von Airy geschrieben wird:
-f- 2 cos A cos B sin C cos a cos b sin c
— 2 sin A cos B cos C sin a cos b cos e
+ 2 cos Ä sin B cos C cos a sin b cos c
— 2 sin A sin B sin C sin a sin b sin c
— 2 sin A cos A sin b cos b
-f- 2 sin B cos B sin a cos a
= 0
Darauf werden die, unbeschadet der Genauigkeit höchsten Grades,
praktisch noch zulässigen Vereinfachungen in Betracht gezogen. Für a als
halbe Korrektion der Mondshöhe, welche niemals ¿Kb übersteigen kann, ergiebt
3) Nach der Formel von Taylor werden die Gröfsen dritter Ordnung bekanntlich:
d^z . „ » „ . d 3 * . „ „ „ „ d*z . „ „ d*z\
+
2 l 3
dx* + 3ix *‘ iy dx*dv
s *-** @ + J>3 dvV
während die Entwickelung der Legend re’sehen Substitution dafür Folgendes giebt:
d*z
L ( w • S
wie oben!
also der Fehler nur •/« — i h~ Vä-ti mithin den vierten Theil von V« beträgt. Die Gröfsen zweiter
Ordnung aber hatten vollständig übereingestimmt nach beiden Entwickelungen.
