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Mittel zu einem Minimum zu machen. Denn wenn (x-—bı)? + (x-——b2)? + (x--ba3)?
+... + (x—bn)? ein Minimum werden soll, also 2(x—bı)dx + 2(x—b2) dx
+... +2(zx—bn) dx = 0 oder x—bı + x—bı + ... + (x—bn) = 0 sein mufs,
so wird x = bı + ba + bs +... + bn der gesuchte Werth, welcher die
Eigenschaft hat, die Summe der Quadrate (und keiner anderen Potenzen) von
x—bı, x—b2 u. 8. W. zu einem Minimum zu machen,
3. In Uebereinstimmung mit diesen fundamentalen Sätzen läfst sich in
allen entsprechenden Fällen, auch wo das arithmetische Mittel nicht unmittelbar
angewandt werden kann, doch immer so verfahren, dafs die Summe der Quadrate
der übrig bleibenden Unterschiede ein Minimum wird.
Hat man also eine Reihe von Beobachtungen angestellt, die den Gleichungen
von der Form
EL
aıX-bi= 0
as X-— ba — 0
as Xx—bs — 0
anz<-—bn = 0
entsprechen, und ist aıx=— bı ebenso genau wie a:X=-b2 oder asX==Ds u. S. W.
beobachtet, so wird der wahrscheinlichste Werth von x diejenige Zahl, welche
die Summe (a1: x-—bı)? + (a2 x—ba)? + (a3x—bs)? +... + (anx—bn)* zu einem
Minimum macht. Dies führt aber wieder zu der Bedingung, wie oben, dafs
(a1x—bı)ai + (a2x—b2)a2 + . . . + (an X—bn)an = 0
oder in Worten:?) „Man multiplicire jede der vorgelegten Gleichungen mit dem
Coefficienten von x und setze die Summe dieser Produkte gleich Null, so hat
man die Endgleichung zur Bestimmung des wahrscheinlichsten Werthes von x“,
welcher hiernach die Form erhält:
x — 9abı + a2be + ds bs + ‚.. + anbn
a au? a2?-+as?+ ... +an? |
Es seien nun die zu den Zeiten Tı, Te, Ts... Tn beobachteten Chrono-
meterstände Sı, Sz, Ss... Sn gegeben, und ihre Unterschiede Sı—Sı = gı,
Ss— 82 = gr, Sı—Sa= gs u. 8. w. mögen z. B. die täglichen Gänge bezeichnen,
welche also mit gn—1 sSchliefsen, Da aber diese Größen gı g2? gs... gn nicht
direkt beobachtet sind, sondern erst aus je zwei von den aufeinander folgenden
direkt beobachteten Ständen geschlossen werden, aus denen auch noch andere
Vielfache des täglichen Ganges mit gleichem Rechte herzuleiten sind, so erhält
man eine Reihe gleichwerthiger Bedingungsgleichungen, welche sich z. B. für
fünf Standbeobachtungen so stellen lassen, wenn g wieder den gesuchten täg-
lichen Gang bezeichnet:
Ti Sı
.„..1l g= 81
T2z S
.... ge a ‘47
Ts S3
...83 | 8=B
Ta St
..: 84 ] =
T5 S5
Die Auflösung dieser 10 Gleichungen giebt demnach als Summe die fol-
gende Endgleichung:
g(4.1*? + HN TEL S
gs +4) +21 +2+3+4
__ 10g1 + 15g2 + 15gs + 10g4 __ , 9
g= Om = /10 (281 + 3g2 + 3gs + 2ga)
= Yu {2(gı + 8) + 3(g2 + go)!.
3) Legendre: Sur la methode des moindres quarres, p. 73 der Schrift; „Nouvelles methodes
pour la determination des orbites des cometes. Paris 1806.“
