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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte. — 55. Bd., Nr. 2
d. h. sie geht in sich selbst über, man braucht nur statt zu schreiben — 2'. Die schiefe
Strophoide und folglich auch die gerade sind anallagmatische Kurven, was nicht bekannt
zu sein scheint, in einer zenitalen Karte aber selbstverständlich ist.
Die Polargleichung der schiefen Strophoide [siehe (12a)], bezogen auf den Knoten
r 1, war. cos 2 # 4 sin 2 # cot 2 A = r (cos # 4~ sin # cot 2 A).
Mithin wird durch Inversion:
£ 2 cos 2 # + q 2 sin 2 # cot 2 A = q cos # + q sin # cot 2 A,
x 3 y 2 + 2 xy cot 2A = x + y cot 2 A.
1
(33)
Setze ich x = x' + ^ » dann wird
x' 2 — y 2 + 2 x'y cot 2 A
0.
Durch Drehung des Achsenkreuzes um 4-ß= 45° — A erhält
man
1
y 2 — x' 2 = . sin 2 A (Fig. 22),
(33 a)
also eine gleichseitige Hyperbel. Folglich ist auch die gleich«
seitige Hyperbel die Inverse der geraden Strophoide (Azimut«
22 gleiche A = 135°), was bekannt ist (Loria, Spezielle alge«
braische und transzendente Kurven, 2. Aufl., 1. Bd., S. 486).
Die Polargleichung der schiefen Strophoide mit dem Knoten — 1 bezogen auf
-(- 1 ist nach (12 c)
4 (x — l) 2 — q 2 x + q 2 y cot 2 B + 3 y 2 — 2 xy cot 2 B + x 2 —- 0.
Durch Inversion von + 1 aus folgt:
2 cos# cot 2 B sin#
» i '
3 sin 2 # 2 sin # cos #
Q» Q° r
4 (x — q 2 ) 2 -f x 2 — x + 3y 2 + y cot 2 B — 2 xy cot 2 B
1
cot 2 B
cos 2 #
0.
Setzt man u = x also x
2 > x 2 = u 2 + u 4-^p
4 |u 2 + y 2 — -j-j + u 2 —^-4- 3 y 2 — 2 uy cot 2 B
= 0.
so wird
= 0,
1
1
4 (u 2 -f- y 2 ) 2 — 2 (u 2 + y 2 ) 4- ^ 4- u 2 4 3 y 2 — 2 uy cot 2 B = 0,
4 (u 2 + y 2 ) 2 — (u 2 — y 2 ) — 2 xy cot 2 B = 0.
Dreht man die Achsen um 4-ß = 45° — B, so wird
x 2 — y 2
r x 2 L ^2 == y .
^ K 4sin 2 B
(34)
Die Inverse dieser schiefen Strophoide ist eine Bemoullische (Fig. 9, Seite 12) Lemniskate,
was nicht bekannt zu sein scheint, und zugleich Inverse der gleichseitigen Hyperbel
(Formel 29), also erhält man diese Lemniskate durch zweimalige Inversion der schiefen
Strophoide mit dem Knoten — 1. Die entsprechenden rechtwinkligen Schnittkurven erhält
man durch Inversion der Schnittkurven der Hyperbelschar.
Die Großkreise durch den Punkt — 1 in der Karte n = 2 wurden durch folgende
Gleichung bezogen auf + 1 als Pol eines Polarkoordinatensystems dargestellt (Formel lOd):
r 4 sin 4 a 4- 4 r 2 x sin 2 a cos 2 a — 4 r 2 sin 3 a cos 2 a — 4 sin 2 2 a (x — l) 2 4- 4 y 2 .
Mithin durch Inversion:
sin 4 a — 4 q 2 sin 2 a cos 2 a + 4 x sin 2 a cos 2 a — 4 sin 2 2ß(x — £ 2 ) 2 + 4 y 2 . (35a)
