A. Wedemeyer: Winkelfreue Karlennetze in elementarer Behandlung
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1.
Der normale stereographische Netzentwurf stellt, wie schon angedeutet, den Grenz*
fall n = 1 dar. Bevor die Betrachtungen auf ein beliebiges n ausgedehnt werden, möge
das Netz n = ~ näher untersucht werden, da die Formeln ziemlich einfach ausfallen.
Die Meridiane bilden einen Strahlenbüschel durch N, der Schnittwinkel ?!— ’ • Die
Breitenkreise sind konzentrische Kreise um N mit den Halbmessern (> = tang 1/2 ~- Da es
bei zenitalen Entwürfen genügt, einen beliebigen Hauptkreis zu betrachten, wählen wir
den Büschel Hauptkreise durch den Punkt des Äquators auf dem Nullmeridian. Der
Hauptkreis, der den Nullmeridian unter dem 4.« (in Figur 3 4-«') schneidet, wird auf
der Kugel (Formel 1) ausgedrückt durch
cot a tang p sin l = 1.
Wir haben daher für das Bild im neuen Netz zu setzen £ = tang’ /j ^ und /1 = 2 ?!, also
in Formel (2) und (3) statt q nun q 2 . Dadurch wird
+ 2 cot a q“ 2 sin 2 X = 1,
(J 4 + 4 cot a (> 2 sin X cos X = 1,
Q i + 4 cot a xy = 1.
Dreht man das Koordinatensystem um 4-^ —45°, so wird
+ 2 cot a q 2 cos 2 # = 1,
(x 2 + y 2 ) 2 + 2 cot« (x 2 — y 2 ) = 1. (6)
Die Hauptkreise sind also Cassinische Linien (allgemeine Lemniskaten), siehe Fig. 4 1 ).
Diese Hauptkreise entsprechen den Azimutgleichen C des stereographischen Entwurfs,
mithin wird durch die Abbildung z = j/z, wie man sich in der Mathematik ausdrückt,
der Büschel Kreise durch einen beliebigen Punkt der Z*Ebene durch einen Büschel
Cassinischer Linien in der Z*Ebene wiedergegeben. Umgekehrt werden durch die Ab*
bildung z = Z 2 die Cassinischen Linien in Kreise verwandelt, mithin werden durch das
Netz q — tang 2 X = 22 die Azimutgleichen C der stereographischen Karte in Kreise
verwandelt, worauf später eingegangen werden wird.
Aus Formel (3) für die Nebenkreise folgt:
f> 4 — 2 q“ 2 cos 2 X sec z + 1 = 0. (7)
Die Nebenkreise sind ebenfalls Cassinische Linien und bestehen aus 2 getrennten Ovalen
(Fig. 4 und 5). Damit ist ein neues winkeltreues Netz gefunden (s. Seite 9 [5]).
Die Geraden der azimutalen Karte konnten als Nebenkreise durch den Nadirpunkt
betrachtet werden. Diese Kreise werden auf der Kugel dargestellt durch:
cos f = cos b cos p + sin b sin p cos ?-. (8)
Der Kreishalbmesser ist £ = ISO 1 — b, wo b die Poldistanz des Kreis»Mittelpunktes auf der
Kugel ist, daher
*) Bezieht man die Punkte der Kurve auf die 4 Büschelpunkte (die Kardinalpunkte des Äquators),
so kann man die Gleichung der Kurve in BizirkulanKoordinaten schreiben: (Ä + «U - (Ä, + Äj) ^7, Pl P2 - c.
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