Dr. Kari-Heinrich Wagner: Die unechten Zylinderpro jektionen.
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Hier sind die Verzerrungen längs eines Parallelkreises nicht konstant. Sie nehmen im allgemeinen vom Nullmeridian
zum Grenzmeridian hin zu. Die Linien gleicher Verzerrungen sind komplizierte Kurven, die sich in mathematisch
einfacher Form gar nicht ausdrüeken lassen. Wenn man also hier die Forderung stellen würde, daß eine Zone
von vorgegebener Breite mit möglichst geringer Verzerrung abgebildet werden soll, dann müßte man die Ver
zerrungswerte für verschiedene Punkte in genügender Dichte für verschiedene n und auch für verschiedene Pro
jektionen berechnen. Der größte auftretende Verzerrungswert ist jedoch nicht maßgebend für die Beurteilung.
Man müßte für die gegebene Zone den Durchschnittsverzerrungswert ermitteln, indem man die Linien gleicher
Verzerrung einzeichnet und die von diesen eingeschlossenen Flächen ausplanimetriert. Dies alles wäre eine un
geheure Arbeit, und es ist noch nicht einmal gesagt, daß die daraus zu gewinnenden Erkenntnisse im richtigen
Verhältnis zu der dafür aufgewendeten Mühe stehen. Wir wollen also versuchen, ohne großen Aufwand einen
allgemeinen Überblick über die VerzerrungsVerhältnisse und ihre Abhängigkeit von den Konstanten zu gewinnen,
um daraus wieder Schlüsse auf die Art und Weise der Verwendung unserer Netze zu ziehen.
Es läßt sich ganz allgemein zeigen, daß in den Punkten, in denen die längentreuen Parallelkreise den Nullmeri
dian schneiden, bei jeder unechten Zylinderprojektion alle Verzerrungen 0 werden. Erstens ist auf dem ganzen
Nullmeridian bei allen unseren Projektionen tg 0 = 0 wegen A = 0. Auf dem ganzen längentreuen Parallelkreis
ist wegen der Längentreue das Verhältnis Kartenparallel zu Kugelparallel = k = 1. Aus tg 0 = 0 auf dem
Nullmeridian und k= 1 auf dem längentreuen Parallelkreis folgt, daß im Schnittpunkt beider Linien und nur
dort die Winkelverzerrung 2 ca = 0 wird, denn es ist tg ca = ^ | {k— -f- (~^) . woraus für die 2 Schnitt
punkte ohne weiteres tg ca = 0; ca — 0 folgt. Bei allen Formen, bei denen die Meridiane den Äquator orthogonal
schneiden, wird auf diesem auch tg 0 = 0, aber nicht k = 1, sofern nicht n = 1 ist unter der Voraussetzung,
daß für dieses n der Äquator von der betreffenden Meridianfunktion längentreu abgebildet wird, was bei unseren
gebräuchlichen Meridianfunktionen immer der Fall ist. Es wird dadurch die Winkelverzerrung auf dem Äquator
konstant. Dies ist bei allen vorgeführten Projektionen der Fall, mit Ausnahme der auf S. 32 in der Anmerkung
beschriebenen Projektion von Collignon mit geradlinigen Meridianen. In diesem Fall wächst die Winkelverzerrung
gegen den Randmeridian hin, da die Meridiane alle unter anderem Winkel auf den Äquator treffen 1 ).
Bei den flächentreuen Formen ist Flächenverzerrung nicht vorhanden, also herrscht natürlich auch in den
2 Schnittpunkten Flächentreue. Wenn in den 2 Punkten Flächentreue und Winkeltreue gleichzeitig vorhanden
ist, dann folgt daraus, daß auch keine Längenverzerrung vorhanden sein kann. Bei den abstandstreuen Formen
ist auf dem Nullmeridian und nur dort das Verhältnis Kartenmeridian zu Kugelmeridian = k = 1, so daß in den
2 Schnittpunkten der Fall h = k — 1 eintritt und somit auch keine Flächenverzerrung vorhanden ist.
Von diesen 2 Punkten wachsen nun die Verzerrungen nach allen Seiten. Das wesentlichste für die Bestimmung
der Konstanten ist, daß die Verzerrungen polwärts schneller wachsen als äquatorwärts. Man kann sich davon
leicht überzeugen. Wir haben in Abb. 14 vorliegen die Linien gleicher Winkelverzerrung für die Projektion Eckert VI
ohne Hilfswinkel für einen längentreuen Parallelkreis cp 0 = 40°. In den Punkten 40°; A = 0° ist jede Verzerrung
= 0. Von diesen Punkten wächst die Winkelverzerrung bis zum Äquator bis zu dem Wert 2&> — 16°40'. Von
diesen Punkten bis zu den Polen dagegen wächst die Winkelverzerrung stetig bis zum Wert 2<o = 180°. In den
anderen Richtungen von diesen Punkten aus liegen die Verhältnisse nicht so extrem. Das Charakteristikum des
schnelleren Anwachsens polwärts bleibt aber bestehen. Wenn man jetzt erreichen will, daß bei einer vorgegebenen
Zonenbreite die unvermeidbaren Verzerrungen möglichst gleichmäßig über die gesamte Zone verteilt werden,
dann muß der längentreue Parallelkreis mehr zum begrenzenden Parallel der Zone zu liegen und nicht etwa in
der Mitte. Diese Notwendigkeit ist bereits bekannt bei den echten Formen.
Nun sind aber noch andere Gesichtspunkte zu beachten. Bei den echten Formen bleiben die Winkelverzerrungen
auf ein und demselben Parallelkreis konstant, was bei den unechten Formen nicht der Fall ist. Man kann also
nicht von einer beliebig langen Zone sprechen, die gut abgebildet werden soll, sondern nur von einem kugel
zonenähnlichen Gebiet. Dieses Gebiet liegt in der Mitte der Projektionen um die 2 ausgezeichneten Punkte herum.
Bis zu einem gewissen Verzerrungswert, je nach der Wahl von n, sind die Linien gleicher Verzerrung geschlossene
Kurven, die sich um die 2 Punkte herumlegen. Oberhalb dieses Wertes sind die Kurven dann am Grenzmeridian
geöffnet, so daß man dann von einer Zone sprechen könnte, die ganz unterhalb eines gewissen Verzerrungswertes
liegt. Diese Zone wird gegen den Randmeridian hin immer schmaler. Es können die Verzerrungslinien aber auch
*) Eine Tabelle der Winkelverzerrungen dieser Projektion findet sich bei Tissot-Hammer, Tafel XVII.
