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Aua  dem  Archiv  der  Deutschen  Seewarte.  —  45.  Bd.  Heft  1.

bis  IX  ist  (  s.  Spalte  X  bis  XII);  je  geringer  also  ohne  Berücksichtigung  der  Vorzeichen  die
Mittelwerte  der  Spalten  X  bis  XII  sind.  ,

Hätten  die  Werte  der  Spalte  II  zu  denen  der  Spalte  III  bis  V  keine  Beziehung,  so  müßten
die  Mittelwerte  der  Spalten  X  bis  XII  ohne  Berücksichtigung  des  Vorzeichens  der  Einzelwerte  etwa  den
9*—1
Wert  =  etwa  2.96 10 )  ergeben.  Die  tatsächlichen  Werte  0.56,  0.56,  0.67  bei  den  Vorhersagen
3  X  9

A  bzw.  0.44,  0.44,  0.89  bei  den  Vorhersagen  B  der  Zusammenstellung  Nr.  4  sind  aber  nur  das  0.19,  0.19,
0.22-fache  bzw.  das  0.15,  0.15,  0.30-fache  von  2.96.

Der  Forderung  in  Absatz  1  dieses  Abschnitts  wird  also  bei  allen  drei  Festsetzungen  für
h  gemäß  den  Formeln  (13a)  wie  <13b)  und  (13c)  in  recht  weitgehendem  Maße  entsprochen;  in
genau  dem  gleichen  Maße  bei  den  Festsetzungen  h  =  h,  und  h  —  h 2  nach  den  Formeln  (13a)  und  (13b);
nicht  ganz  so  gut  bei  der  Festsetzung  h  =  h 3  nach  Formel  (13c).
Letzteres  Ergebnis  läßt  vermuten,  daß  die  Festsetzung  h  =  h 3  bei  der  endgiltigen  Ermittlung
des  Wertes  von  h  ausfallen  wird.  Diese  Vermutung  wird  ohne  Rechnung  noch  durch  die
Überlegung  verstärkt,  daß  bei  der  Festsetzung  von  h  höchst  wahrscheinlich  sämtliche  Vorhersagegruppen ­
  zu  berücksichtigen  sind.  Dies  ist  zwar  der  Fall  bei  der  Festsetzung  von  h  =  h x  und  h  =  h.
nach  den  Formeln  (13a)  und  (13b);  hingegen  bleiben  bei  der  Festsetzung  h  =  h., }  nach  Formel  (13c)  die
vier  Gruppen  (aob),  (boa),  (cob)  und  (boc)  unberücksichtigt;  also  die  beiden  Gruppen  des  Über10 ­
 )  Für  Interessenten  möge  abgeleitet  werden,  welche  durchschnittlichen  Unterschiede  (D)  zu  erwarten  sind,
wenn  eine  Abhängigkeit  zwischen  den  Werten  der  Zusammenstellung  Nr.  4  Spalte  H  gegen  die  Werte  der  Spalten  III
bis  V  fehlt.  Zu  diesem  Zweck  werden  sämtliche  Permutationen  der  Reihe  1,2,3,4  n  vorgenommen;  das
ergibt  1X2X3X  X  (n—1)  X.  n=n!  Portmutationen.  Jede  Pemiutation  besteht  aus  den  n  EinzelgMedem
1,  2,  3  n,  wobei  jede  Reihenfolge  je  einmal  vorkommt.  Die  Gesamtheit  der  Permutationen  ergibt  also  [n  (n!)J
Einzelwerte.
Jeder  dieser  Einzelwerte  werde  nun  bei  jeder  einzelnen  Permuiation  von  der  unveränderten  Reihe  1,  2,  3,....  n
abgezogen,  dann  ergeben  sieh  nX(n!)  Unterschiede.  Die  algebraische  Summe  für  die  n  Binzeiglieder  der  mit  jeder
einzelnen  Permutation  abgeleiteten  Unterschiede  ergibt  stets  den  Wert  Null.  Die  Summe  dieser  Unterschiede  ohne
Berücksichtigung  der  Vorzeichen  dividiert  durch  die  Gesamtzahl  der  Unterschiede  [nX(n!)l  ist  der  gesuchte  Wert  D.
Es  ergeben  sich  z.  B.  für  n=4  die  4!  —.  24  Permutationen
1,  2,  3,  4  *  1,  2,  4,  3  *  1,  3,  2,  4  *  1,  3,  4,  2  *  1,  4,  2,  3  *  1,  4,  3,  2  **
2,  1,  3,  4  *  2,  1,  4,  3  *  2,  3,  1,  4  *  2,  3,  4,  1  *  2,  4,  1,  3  *  2,  4,  3,  1  **
3,  1,  2,  4  *  3,  1,  4,  2  *  3,  2,  1,  4  *  3,  2,  4,  1  *  3,  4,  1,  2  *  3,  4,  2,  1  **
4,  1,  2,  3  *  4,  1,  3,  2  *  4,  2,  1,  3  *  4,  2,  3,  1  *  4,  3,  1,  2  *  4,  3,  2,  1  **.
Diese  Einzelwerte  von  der  Reihe  1,2,  3,  4  der  Reihenfolge  nach  abgezogen  ergaben  0,  0,  0,  0  X-  0,  0,  —1,  1  *
0,—1,1,0*  0,-1,—1,2*  0,—2,1,1*  0,—2,0,2**  —1,1,0,0*  —1,1,—1,1*  -1,-1,  2,0*  -1,-1,—1,3*
-1,-2,  2,1*  -1,-2,  0,3**  —2,1,1,0*  —2,1,—1,2*  —2,  0,  2,  0  *  —2,0,—1,3*  —2,—2,  2,  2*
-2,—2,  1,3**  —3,1,  1,1*  —3,1,  0,2*  —3,0,  2,1*  —3,  0,  0,  3  *  —3,  —1,  2,  2  *  —  3,-1,  1,3**
Die  algebraische  Summe  der  je  4  durch  *  oder  *  *  von  einander  getrennten  Unterschiede  ist  stets  Null.  Die
Summe  der  4X(4!)=96  Einzelwerte  ohne  Berücksichtigung  der  Vorzeichen  ergibt  120;  hieraus  folgt  als  Durchschnittswert ­
  D=120  :  96  =  1.25.  Dieser  Wert  ist  also  ungefähr  zu  erwarten,  wenn  zwischen  den  je  4  ihrer  Größe  nach  geordneten ­
  Gliedern  zweier  Reihen  keine  Abhängigkeit  besteht.
Die  Auszählung  zeigt,  daß  im  vorvorigen  Absatz  für  n=4  bei  Vernachlässigung  der  Vorzeichen  vorkommt
der  Unterschied  4  —  4  —  0  insgesamt  24  =  4X[(4—1)1]  mal,
4  —  3  =  1  „  36=2X3X1(4-1)!]
4  —  2  =  2  „  24  =2X2  X  [(4-1)!]  „  ,
4  —  1  =  3  „  12  =  2  X  1X  [(4—1)!]  „  .
Die  Faktoren  von  (4—1)!  ergibt  folgende  Ueberlegung.  In  der  obersten  Reihe  weide  stets  die  Folge  1,  2,  3,  4  angenommen; ­
  in  der  zweiten  darunter  stehenden  Reihe  werden  alle  24  Permutationen  der  Zahlen  1,2,  3,4  vorgenommen.
Dann  ergibt  sich  abgesehen  sowohl  vom  Vorzeichen  wie  vom  Faktor  (4—1)!  =  6  als  Unterschied  gegen  die  Nummer  1
der  obersten  Reihe  einmal  (1—1),  also  1X0;  einmal  (1—2),  also  1X1;  einmal  (1—3),  also  1X2;  einmal  (1—4),  also  lXä.
Bildet  man  entsprechend  die  Unterschiede  gegen  die  Nummern  2,3,4  der  ersten  Reihe,  so  ergebet!  sich  demnach ­
  als  Unterschiede  gegen  (Fortsetzung  siehe  nächste  Seite)