W. Im ml er: Analytisch-geometrische Untersuchungen über die Azimutgleiche in der Merkatorkarte. 
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War die Differentialgleichung der Azimutgleiche — = — —: — j so ist die Differentialgleichung der 
dx dx dy 
Orthogonaltrajektorie — . In dieser Grundgleichung ist nur a aus der Gleichung (4) ein- 
dx dy dx 
zusetzen. Es ist 
S f 
— = cotg a cos x Cof y — sin x Gm y = (tg cp 0 — cos x Gin y) cotg x — sin x Gin y. 
dx 
f £ 
— = cotg a sin x Gin y + cos x t£of y = (tg cp a — cos x Gin y) 33g y + cos x £oj y. 
<5y 
oder 
df @tny df 
— = tg <p 0 cotg x —=- ; — 
dx sin x dy 
= tg (Po $9 y + 
dann lautet die Differentialgleichung der Orthogonaltrajektorie 
cos x 
@of y 
d f d f , , (. , Gut y\ , /. ~ . cos x \ 
dy — — dx = dy (tg<p 0 cotg x : ) —dx (tg <p 0 Xg y -f- ——) = 0 
dx dy \ sinx/ \ ©ofy/ 
Multipliziert man die Gleichung mit sin x Eoj y und erinnert sich, daß £o| y dy = d Gin y, sin x dx = 
= —-dcosx so erhält man 
(tg <p 0 cos x —- Gin y) d Gin y + (tg <p 0 Gin y +cos x) dcos x = 0 oder anders geordnet 
tg <p 0 (cos x d Gin y + Gin y dcos x) — (Gin y d Gin y — cos x dcos x) = 0 oder 
d [Yt (Gin 2 y — cos 5 x)] = tg 9? 0 d (Gin y cos x) 
Integriert man, und setzt C als Integrationskonstante, so erhält man die Gleichung der Orthogonal 
trajektorie 
F — Gin* y —■ cos* x — O — 2 tg 9?„ Gin y cos x — 0 (35) 
Diese Gleichung läßt sich auch explizit schreiben 
Gin y = tg <p 0 cos x + yc + sec* <p 0 cos’ x (85a) 
Der Parameter O charakterisiert die verschiedenen Orthogonaltrajektorien. Will man den Wert von 
C bestimmen für die Funkbake selbst, so hat man zu setzen x = 0, also cos x = 1 und Gin y — tg cp = tg <p 0 
und erhält aus (35) 
C = tg* <p 0 — 1 — 2 tg* <p 0 — sec’ <p 0 . 
Ferner interessiert der Fall, wo C = 0 wird. In diesem Falle geht (35a) über in 
Gin y = cos x (tg go 0 + sec <p 0 ). 
Unter Berücksichtigung von (21c) erhält man 
tg <0 = sec 9? 0 (sin cp 0 ± 1) 
oder tg = 
tg co 2 = ■ 
1 + cos (90° — q> 0 ) 
sin (90° — tp 0 ) 
1 — cos (90° — q> 0 ) 
= cotg 
= —tg 
(--t) 
(--?) 
(fo 
(»!=—+ 45° 
2 
w 2 = — — 45° 
2 
sin (90° — <p 0 ) 
Das sind aber die Winkelhalbierenden des Innen- bzw. Außenwinkels im Punkte S des Dreiecks PSG. 
Diese Halbierenden sind also selbst Orthogonaltrajektorien zu den Azimutgleichen. 
Wünscht man endlich den Parameter C für irgend einen Punkt der Azimutgleiche zu bestimmen, 
so ersetzt man zunächst C durch A — sec’ </>„. A wird dann in der Funkbake selbst =0, bei w 45° 
aber sec*9? 0 , und allgemein im Punkte x, y ^ 
Gilt* y — cos’ x = A — sec* <p 0 -f- 2 tg <p 0 Gin y cos x