W. Immler: Analytisch-geometrische Untersuchungen über die Azimutgleiche in der Merkatorkarte.
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In der Nähe des Schifisortes S, in dem die Gleichung у = f (x) erfüllt ist, entwickelt sich daher
die Gleichung der Azimutgleiche, wenn man nun A x und А у als laufende Koordinaten anspricht, nach
der Form (Fig. 4):
z/X 8
А у = А x • у' -| у" у'" + (5)
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Nun ist
— = cotg а cos х у — sin x ©in y.
d x
— = cotg a sin x ©itt у + cos x £o| у also
dy
6 f d f cotg a cos x £o>f у — sin x ©in у cotg а — tg x Tg у
У d x S у — cotg a sin x ©in у + cos x £of у cotg a tg x Tg у +1
Setzt man nun
tgy = tgxTgy = siny tg,i (6)
so wird
cotg а — tg y>
У' = — — — cotg (а + у,) (7)
cotg a tg у +1
Der erste Differentialquotient hat aber die Bedeutung der Richtung der Tangente im Punkte x, у
und man erhält demnach diese Richtung, indem man an das Azimut noch den in der Formel (6) errechne-
ten Winkel yj anträgt. Dieses Ergebnis ist bereits von A. Wedemeyer gefunden.
Bei der Azimutgleiche а = const. ist demnach y' lediglich mit diesem Winkel y> variabel; demnach
ergibt sich für den zweiten Differentialquotienten y"
dy' dip
y" = — = cosec 2 (a + y) — (8)
dx dx
Nun folgt aber durch Differentiation von (6)
sec 8 y> d y> = sec 8 x Tg у dx -f ©ec 2 у tg x dy (6a) oder unter Berücksichtigung von (7)
dip
sec 2 yj — = sec 2 x Tg у — ©ec 2 у tg x cotg (a -j- yj) und unter Einsetzen in (8)
dx
y" sec 2 yj = eosec 3 (a + y>) (sec 2 x Tg у sin (a + yj) — ©ec 8 у tg x cos (a + y))
Macht man nun Gebrauch von der Beziehung
sec 2 x = 1 + tg 8 x
©ec 2 у = 1 — Tg 2 у
und denkt dabei an die Grundgleichung (6), so wird endlich
y" = cosec 3 (a + y>) cos ^ [Tg у sin (a + 2 yj) — tg x cos (a + 2 y)] (9)
Die Gleichung (5) geht dann über in
A x 8
Ay = — /1 x cotg (a + cosec 3 (a + yj) cos y> [Tg у sin (a + 2 yj) — tg x cos (a -f 2 y)] (10)
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Die Tangente in einem neuen Punkte А x, А у der Azimutgleiche hat dann die Richtung
djy
= — cotg (a -f y>) + Ax cosed* (a + y>) cos y> [Tg у sin (a + 2 y>) — tg x cos (a + 2w)] = - cotg (a + w)
dA x
Diese Richtung а + y>' unterscheidet sich von der alten Richtung a -f yj nur in y>, da auf der Kurve
а = const bleibt.
