36

Aus  dem  Archiv  der  Deutschen  Seewarte  —  1918  Nr.  1  —

sin  cp

Man  findet  hieraus

sin  $  =  sin  a  .  sin  s  .  cos  <3  +  cos  u  .  V  1  +  (sin  ä  .  sin  cp  +  cos  d  .  cos  cp  .  cos  s) 2  —  sin 2  s  .  cos 2  ö  ..  XI)
Mit  der  Kenntnis  von  £  wird  man  dann  leicht  aus  VIIIj)  tj  berechnen.
Um  auch  die  Natur  der  Schattenkurve  zu  ermitteln,  auf  welcher  TJ  liegt,  gehe  man  von  den  Gleichungen
sin  cp  ,  cos  s  =  cos  cp  .  tang  ö  +  sin  s  .  cotg  («  +  A«)
sin  (ffi  +  i  a).  cos  h

sm  s  =

XII)

cos  s

cos  d
cos  tj  .  cos  £  —  sin  <5.  sin  <p
cos  d  .  cos  cp
aus,  deren  letzte  aus  der  Verbindung  von  VIII 2 )  mit  1X 2 )  hervorgeht.  Da  die  Schattenlinie  für  alle  Stunden
des  Tages  gilt,  so  ist  ihre  Gleichung  das  Resultat  der  Elimination  von  s  aus  XII).  Das  gibt:

cos  v  .cos  t  —  sin  S  .  sin  cp  sin  («  +  A  «)  .  cos  h  .  ,  ,  .  ,
sin  cp  .  *—&  ~  cos  f  ■  *№№ff  o  j  .  cotg  (a  +  A  «)

cos  Ö  .  COS  cp
Aus  der  Figur  liest  man  ohne  Weiteres  ab:

XIII)

x

woraus  sich  ergibt
Ebenso  ersieht  man,  daß
ist.  Aus
findet  sich

tang  A  a  —  ,

sin  Aß  =

x

COS  fj

V  x  ■  -f-  (j  ~
?£_  .
V  x' 1  +  y-  ’

COS  A  Ci  =  ^

COS

V  x 1  +  q l
J  =  \/  Z 2  4-  y  *
'  X 2  +  y l  +  <i l

cos  h

sin

cos  A  u

7  \  x 1  +  q 2
cos  ll  =  —5—;  r~,  i
v  x l  +  y 2  +  q 1
Entwickelt  man  jetzt  XIII)  und  ersetzt  darin  sin  A  «,  cos  ^  et,  cos  ij,  cos  J  und  cos  h  durch  die  eben  gefundenen ­
  Werte,  so  folgt

V

V  x 2  +  y  ~

V  x 2  +  y 2  T  x 2  +  y l  +  q 2
oder  vereinfacht

_  =  sin  d  .  sin 2  cp  +  sin  (5  .  COS 2  cp  -J-  COS  cp

q  .  cos  ct

x.  sm  a

_V  x 2  +  y 2  V  x 2  +  y 2 _

\/  x 2 +  y 2
V  x 2  +  y 2  +  q 2

y  .  sin  cp

.  „  q  .  cos  a  —  x.  sm  «
_  =  sm  0  +  -i—  —  .  cos  cp
V  x 2  +  y 2  +  q 2  V  x 2  +  y 2  +  q 2

XIV)

Durch  Quadrieren  und  Beseitigen  der  Nenner  geht  XIV)  über  in  die  Kegelschnittsgleichung
y 2  (sin 2  cp—sin 2  d)  +  yi-  (sin 2  u  .  cos 2  cp—sin 2  ö}-\-x  .  y  .  sin  «  .  sin  2  cp—x  .  q  .  cos 2  cp  .  sin  2  a—y  .  q  .  cos  u  .  sin  2  cp
+  q 2  .  (cos 2  a  .  cos 2  cp  —  sin 2  6)  =  0  •  XV)
Dieser  Kegelschnitt  ist  eine  Ellipse  oder  Hyperbel,  je  nachdem,  wie  aus  der  analytischen  Geometrie  bekannt.
A  =  (sin 2  cp  —  sin 2  S).  (sin 2  a  .  cos 2  cp  —  sin 2  6)  —-  sin 2  </.  cos 2  cp  .  sin 2  a  >  0  ist,  ein  Ausdruck,  der
sich  auch  so  schreiben  läßt
A  ==  sin 2  c)  £sm 2  d  —  sin 2  cp  (1  +  sin 2  u  .  cotg 2  cp)  J
A  kann,  falls  «  sehr  klein  ist,  >  0  sein  unter  der  Bedingung,  daß  ö>  cp  ist.  Es  ist  also  die  Schattenkurve
nur  in  der  heißen  Zone  eine  Ellipse  und  auch  dort  nur  für  sehr  schwach  deklinierende  Vertikaluhren, ­
  in  der  gemäßigten  Zone  ist  sie  stets  eine  Hyperbel.