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Die  geschichtliche  Entwicklung  der  Polhöhenbestimmungen  bei  den  älteren  Völkern.

3.  Claudius  Ptolemaeus.
Mit  Hipparch  hatte  die  mathematische  Geographie  der  Griechen  ihren  Höhepunkt  erreicht.  Nach
seinem  Tode  sehen  wir  die  selbständigen  Bemühungen  und  die  eifrige  Begeisterung  der  Epigonen  nach
und  nach  schwinden,  bis  sich  die  wissenschaftliche  Erdkunde  endlich  in  völliges  Dunkel  hüllte.  Erst  nach
Verlauf  eines  vollen  Jahrhunderts  erwachte  sie  zu  neuem  Leben,  um  in  den  beiden  letzten  griechischen
Repräsentanten  Marinus  von  T  y  r  u  s  und  Claudius  Ptolemaeus  noch  einmal  hell  aufzuleuchten.
Doch  ist  des  Marinus  Werk,  das  wir  aus  der  Geographie  des  Ptolemaeus  kennen,  weniger  eine
originelle  Schöpfung  als  vielmehr  eine  Sammlung  von  Beobachtungsdaten  und  Reiseberichten  für  eine
Weltkarte 1 ).  Auf  dieser  basiert  Ptolemaeus  unmittelbar;  auch  er  ist  weit  davon  entfernt,  Hipparchs
Leistungen  zu  üherbieten.  Seine  neuen  Beiträge  zu  dessen  Breitentabelle  sprechen  rühmlichst  für  seinen
—  vielleicht  allzu  eifrigen  —  Sammelfleiß,  und  diesem,  der  nach  Berger  (a.  a.  0.  S.  647)  nahezu  an
ein  kritikloses  Zusammenraffen  grenzte,  ist  es  auch  wohl  zuzusohrciben,  daß  Ptolemaeus  sogar  wieder
von  den  von  Hipparch  als  unwissenschaftlich  bezeichneten  Methoden  des  Eratostbenes  Gebrauch
machte.  Zu  neuen  Prinzipien  in  der  Polhöhenfrage  ist  auch  Ptolemaeus  nicht  durchgedrungen.  Deshalb
hatte  er  auch  keine  besseren  Breiten  als  Hipparch,  sondern,  wenn  er  in  der  Not  auf  die  älteren
Methoden  zurückging,  naturgemäß  noch  schlechtere.  In  der  Hauptsache  legte  er  die  geographische
Breite  eines  Ortes  nach  Angaben  über  den  längsten  Tag  fest.  Wie  er  aber  im  einzelnen
diese  Aufgabe  der  sphärischen  Astronomie  rechnerisch  bewältigte,  erfahren  wir  aus  seinem  berühmten
AImage.st  (Msycö.r,  sovtasii).  Wir  geben  im  folgenden  die  zum  Verständnis  erforderlichen  Hilfssätze  aus
der  Ptolemaeischen  Sehnenrechnung  und  im  Anschluß  hieran  die  eigentliche  Lösung  des
Problems  wieder,  uns  dabei  an  die  Ausgabe  von  Halma  anschließend.  Zunächst  teilt  Ptolemaeus  den
Kreisumfang  in  360  Teile  (Grade)  und  den  Durchmesser  in  120  (partes,  abgekürzt  p).  Eine  pars
hat  60  partes  minutae  (60')  und  diese  wieder  60  partes  minutae  secundae  (60").  Den  Schlüssel  zum  Verständnis ­
  seiner  Sehnenregel  liefert  Fig.  1.  Die  zwei  Sehnen  AF  und  JG  stehen  senkrecht  auf  dem
Kreisdurchmesser  BK.  Zieht  man  AG,  so  erhält  man  die  zwei  ähnlichen  Dreiecke  ADE  und  GTIE  und
damit  die  Proportionen
AE  AD  2  -  AD  AF
EG  GH  2  •  GH  —  JG
^  AE  Gerade,  welche  spannt  den  doppelten  Bogen  von  AB
EG  Gerade,  welche  spannt  den  doppelten  Bogen  von  BG  ’
oder  rechts  die  Bezeichnung  chorda  (chord.),  griech.  sü&sia,  einführend:
AE  =  chord  (2  AB)
EG  chord  (2  BG)'
Die  Hauptrolle  in  der  Durchführung  der  sphärischen  Aufgaben  bei  Ptolemaeus  spielt  aber  die  ständig
wiederkehrende  Anwendung  des  sogenannten  Transversalensatzes,  der  von  dem  schon  erwähnten
Astronomen  Menelaus  von  Alexandria  herstammt  und  von  diesem  in  seiner  uns  erhaltenen  Sphärik 2 )
auch  auf  Kugeldreiecke  ausgedehnt  wurde.  Für  das  ebene  Dreieck  hat  man  z.  B.  folgende  Gleichung  (Fig.  2)
GE  ■  DZ  ■  AB  =  GZ  -  DB-  AE,
oder  wie  sie  hei  Menelaus  (und  auch  Ptolemaejus)  geschrieben  ist:
GE  _  GZ  DB S )  ,
AE  ~  DZ  '  AB
’)  Für  unsere  spezielle  Frage  iindet  man  bei  Marinus  sehr  wenig.  Meistens  scheint  er  nach  der  Stadiensumme
aus  Itinerarangaben  die  Plazierung  eines  Ortes  auf  seiner  Karte  bewerkstelligt  zu  haben.  „Als  neuer  Versuch  zu  eiuer
Breitenbestimmung  kann  nur  die  aus  dem  dritten  Buche  des  Di  oder  von  Samos  entnommene  Angabe  gelten,  die
Schiffer,  die  nach  Limyrika  in  Indien  führen,  sehen  den  Stier  und  die  Plejaden  im  Zenit  mitten  über
ihrer  Segelstange.“  (Berger,  Geschichte  d.  wiss.  Geogr.  d.  Griechen,  S.  596.)
a )  F.  Maurolykus  v.  Messina,  Menelai  sphaericorum  libri  tres  (aus  arabischen  und  hebräischen  Handschriften
übersetzt  1558).
•’)  Die  Griechen  kannten  natürlich  unsere  mathematische  Schreibart  nicht,  sondern  führten  obige  Relation  folgendermaßen ­
  in  Worten  an:  „Es  steht  GE  zu  AE  im  zusammengesetzten  Verhältnis  von  GZ  zu  J)Z,  und  ])B  zu  AB“  (auch  von
Halma  wörtlich  übersetzt:  Almagest  I,  S.  51).