Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1903 So. 3 —
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/ {:.<:) — p 0 +lh CQSX + q\ sin x + )h cos 2 x + q t sin 2 x+ ... .
.... +p„CO$nx + q v $innx.
Es sind liier p und q statt der sonst üblichen a und b gewählt, um hervorzuheben, daß wir es mit endlichen
Reihen zu tun haben. Ihr läßt sich auch die Gestalt geben:
m — i
Hierin bedeutet n die Anzahl der Beobachtungen, K die Periode. Der Zusammenhang beider Formen ist
gegeben durch
p 0 ~ w 0 ; Tk = UkStnUk; qk = v k cos £4; uj. = pl + qf c -
Die erste Form hat den Vorzug des leichteren Berechnens; die zweite ist, wie wir später sehen werden,
anschaulicher, da sie die Ausdrücke gleicher Periode zusammenfaßt. Die „Koeffizienten“ u k entsprechen den
Amplituden, die „Angulärkonstanten“ Uit den Extremzeiten der k Kn Welle. Letztere bezeichnen wir auch
durch u'/c, so daß
it'u — Uk sin I Uk + x J
das ,,/c tc Glied“ oder die „Welle k Kr Ordnung“ ist.
Die Koeffizienten dieser endlichen Reihen sind gegeben durch
1 “ 2 ” 2
P 0 = n lEL Pz; Ptc = “ ]>I y t cos k 2 Z ; q k = ~ ]>_ y t sin k z t .
<Icb schließe mich in diesen Bezeichnungen an L. Großmann an: Anwendung der Besselschen Formel in
der Meteorologie. Aus d. Archiv d. D. Seew., 1894, No. 5.) Je entspricht der Ordnung des Koeffizienten. Die
2 Tr
Periode setzt man gleich 2?r und nennt t — z z die Phase. % ist der Index des Einzelwertes. Man
findet oft den Ausdruck „Periode“ auch auf den Ablauf der Erscheinung während der Zeitperiode angewendet,
was unexakt ist; von diesem Vorgänge ist in folgenden Zeilen stets als von der „Variation“, dem „Gang“
oder dem „Verlaufe“ gesprochen. —
Solange n getrennte Beobachtungswerte vorliegen, handelt es sich, vom mathematischen Standpunkte
aus betrachtet, darum, die endliche trigonometrische Reihe an n verschiedenen Stellen an die
Funktion anzuschließen, eben an den n Beobachtungswerten. Hierzu ist die Berechnung von p 0 und n
Koeffizienten p k , q k oder u 0 und n Konstituenten u k , Uk notwendig und hinreichend.
Wir verbinden jedoch mit den n Werten, wie im zweiten Teile eingehend gezeigt werden wird, den
Begriff einer stetigen Funktion, wesentlich bei dieser Vorstellung durch das bekannte Erinnerungsbild
der registrierten Verläufe unterstützt. In wie weit wird nun dieses Vorstellungsbild ebenfalls von den n
Gliedern dargestellt? Da ist nun zu bemerken, daß die endliche Reibe im Gegensatz zur unendlichen nur
die n absoluten Werte, durchaus nicht die Differentialquotienten mit der vorgestellten Funktion gemein zu
haben braucht. D. h. die durch die endliche ResseIsche Reihe dargestellte stetige, präzisions-mathematisclie
Funktion kann außer an den n Punkten beliebig verschieden sein von der erwähnten Vorstellungsfunktion.
Insbesondere können zwischen den n Werten beliebig viele und beliebig hohe Oscillationen auftreten. Umgekehrt,
besitzt der tatsächliche Verlauf so viele Oscillationen, daß die n Beobaclitungswerte
nicht im Stande sind, das wahre Gesetz zu enthüllen, so ist auch die auf sie gegründete
harmonische Entwicklung dessen nicht fähig. Das Gegenteil zu vermuten, käme auf die alte Ansicht
der Meteorologen hinaus, schlechte Zahlwerte durch die Besselsche Formel verbessern zu können. Es
steht vielmehr zu erwarten, daß die endliche Reihe auch hei Vergrößerung der Beobachtungszahl noch nicht
genügt und tatsächlich trigonometrische Reihen nur dann die Darstellung besorgen, wenn unendlich viele
Glieder herangezogen werden.
Es erhebt sich nun die Frage: Wann ist man denn mit der Darstellung zufrieden? Dies ist
gewissermaßen Verabredungssache. Zwar wird man zunächst verlangen, daß die Darstellung der n Punkte
