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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1894 No. 6 —
für (f leicht realisiren und die zugehörigen Werthe beliebiger Funktionen von cp an den Schnittpunkten des
gespannten Fadens mit empirisch getheilten Messkurven in der Ebene ablesen. Soll der Maassstab auf einer
solchen Messkurve gleichförmig werden, so müssen ihre rechtwinkeligen Koordinaten y und x der Differentialgleichung:
„
]/dy' 1 dx 1 = c.df(q)
genügen, wo c ein konstanter Faktor und / die darzustellende Funktion von cp ist. Hinzu kommt noch die
Gleichung, welche cp in seiner Abhängigkeit von x und y angiebt, nämlich:
V
m— = tg2 cp.
Der Werth der Konstanten m hängt davon ab, in welchem Verhältniss die Maassstäbe für e und A
stehen. Die Differentialgleichung hat unter den praktisch interessanten Fällen nur für f{cp) — cp, m = 1
eine einfache Lösung. In diesem Falle wird die Ablesekurve ein Kreis mit dem Anfangspunkt als Zentrum.
Im Allgemeinen wird man aber e in einem grösseren Maassstabe als A auftragen und dann als Ablesekurven
Parallelen zur Ordinatenaxe benutzen. Die Skalen, welche man so erhält, weichen für die praktisch wichtigen
Funktionen cp, tg cp, sin cp, sin nur xvenig von gleichförmigen ab. Die Genauigkeit der Ablesung kann nur
dadurch erhöht werden, dass man e in grösserem Maassstahe aufträgt. Dies geht aber nur für verhältnissmässig
kleine Werthe von e; für die grossen würde das Gesammtformat unhandlich und man erhielte
schleifende Schnitte.
Aus diesem Grunde ist es praktischer, den Abakus in der Weise anzulegen, wie es Tafel VI (Fig. 1)
zeigt. Hier sind e und A auf parallelen Geraden in entgegengesetzter Richtung in gleichförmigen Maassstäben
aufgetragen. Um für e eine grosse Genauigkeit in der Ablesung zu erzielen, sind nur 50 Skalentheile
aufgetragen; ein Punkt der Skale bedeutet aber nicht bloss den Werth e G , welcher an ihm angeschrieben
steht, sondern zugleich die Werthe 50n + e o , wo n eine ganze Zahl ist, bis zum Werthe e — 500. Demgemäss
erhält man zu jedem Werthe von n eine besondere Gerade, welche die Skala für cp trägt. Diese
Geraden sind je nach dem Werthe von n in der Figur mit den Ziffern 0, 1, 2 ... 9 bezeichnet. Die Skale
für A läuft von A — 1000 bis A = 4000. Nach dem Nullpunkte ihrer Skale konvergiren die 10 Skalen
für cp. Bezeichnet man den Abstand der parallelen Skalen für e und A mit d, so sind die Entfernungen
der Endpunkte der Skalen für cp vom Punkte (A — 1000), auf der Verbin dungsgeraden der Punkte (A —- 1000)
und (e = 50) gemessen, — (n = 0, 1, 2 ... 9) und diejenigen der anderen Endpunkte vom Punkt
(A = 4000), auf der Verbindungsgeraden der Punkte (A — 4000) und (e — 0) gemessen, viermal so gross.
Um die Theilpunkte für cp auf den schrägen Geraden zu bestimmen, zählen wir auf der Skale für A von
ihrem Nullpunkte aus in ihrem Maassstabe Abscissen £ und senkrecht dazu Ordinaten t\. In diesen Koordinaten
ist die Gleichung der Geraden für cp, die dem Werthe n entspricht:
JL _ |
d 4000 + 3000 n
da 50 Skalentheile e ebenso gross sind wie 8000 Tlieile von A. Die Abscisse £ eines bestimmten Punktes <l>
der Geraden, welcher einen Werth cp 0 repräsentirt, ist gleich einem bestimmten Werth A 0 . Mit dem Punkte
A 0 und <l> hege in einer Geraden ein Punkt der Skale für e, der nach der Addition der Grösse 50 n den
’Werth e 0 repräsentire. Dann verhält sich:
JL A° _ 1
d ~ A 0 + 60e o 1 + 60^2^’
denn ein Skalentheil von e ist 60mal so gross dargestellt wde einer von A und ~ = tg 2 cp 0 . rj hängt also
nur vom Verhältnisse -f- ab, nimmt daher stets denselben Werth an, wenn nur cp 0 ungeändert bleibt, welchen
W r ertli auch n haben möge. Mithin liegen gleichbenannte Theilpunkte auf den verschiedenen Skalen für cp
je auf einer Parallelen zur ri-Axe. Aus den beiden Gleichungen für -J- erhält man:
4 + 3n
1 + 60 tg 2 cp 0 ’
£ = 1000
