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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 Ko. 3 —
Die weitere Behandlung von V, nämlich die mit Berücksichtigung von Z vorzunehmende Zerlegung in
einen innerhalb und einen ausserhalb der Erde entspringenden Theil, erfolgt auf dieselbe Weise wie in dem
früher behandelten speziellen Falle mittels der Gleichungen (20) oder (21). Zur Beschreibung des magnetischen
Zustandes der Erdoberfläche genügt aber nunmehr nicht die Angabe der beiden Theile von V\ es
müssen vielmehr ausserdem die Differenzen (Z7—V) und (W—V) oder, was zweckmässiger ist, die aus
denselben sich ergebenden, beziehungsweise nach Norden und Osten gerichten magnetischen Kräfte gegeben
sein. Diese stellen denjenigen Theil der gesammten Horizontalkraft dar, welcher kein Potential besitzt.
Die analytische Darstellung der magnetischen Erscheinungen ist mit dem Vorhergehenden erledigt;
es bleibt noch die Aufgabe, eine Entwickelung der die Erdoberfläche senkrecht durchdringenden elektrischen
Ströme zu geben. (Die leicht zu erhaltende Darstellung der zur Erdoberfläche parallelen Ströme, welche
das Potential an derselben hervorzurufen im Stande sind, liegt ausserhalb des Rahmens dieser Arbeit, deren
Aufgabe die blosse mathematische Beschreibung der beobachteten Erscheinungen ist. Eine Berechnung und
kartographische Darstellung dieser Ströme gedenke ich später zu veröffentlichen.)
Mit Hülfe von Gl. (4) lässt sich sowohl iVl-\-e 2 cosv 2 als auch isinvVl-\-e 2 cosv 2 leicht berechnen. Es
sei iVl-\-e 2 Vl-j-s 2 cosv 2 = i, entsprechend den Bezeichnungen X, Y, Z.
Ich will in möglichster Kürze für beide Fälle die Entwickelung andeuten. Es ist
. . 1
[ dX
d(Ysin v)~
4 nb
UlX
dv
Durch Einführung der in (6) gegebenen Werthe von X und Y erhalte ich mit «Benutzung der ersten
Formel in (9) nach einfachen Umformungen unter Absonderung des an den Polen unstetigen Theils
(22). . . i sin v —
sm v“
2 n h
(ß cos X — a sin X) -
4tC b
^r[( wc C (»+i) (»+1). C +1 + m Ö cos nü -
+ (ne” -1 —(n+1) (n+l) m e” +1 —m 5“) sinmX j
Um i selbst darzustellen berechne ich zunächst, von Xsinv und Ysinv ausgehend, mit Hülfe der
zweiten Identität (9) das Produkt isinv 2 . Es wird
(23).
% sm v
2
4itb
((n—1) D n m x — (n+2) (n+l) m D“ +1 + m G“) cos m X
+ (('«.—1) — (n+2) (n+l) m E2 +1 —rnB™) sin mX
Hieraus kann nun % in folgender Weise abgeleitet werden. Es wird durch eine nach Kugelfunktionen
fortschreitende Reihe mit zunächst unbestimmten Koeffizienten dargestellt und darauf wird aus dieser mit
Hülfe der dritten Identität (9) eine neue für isinv 2 hergeleitet. Durch Vergleichung derselben mit der
vorstehenden erhält man, da beide in den entsprechenden Koeffizienten übereinstimmen müssen, eine Anzahl
von Gleichungen, aus denen man die unbestimmt gelassenen Grössen berechnen kann. Soll i gleich Xsinv
und Ysinv durch eine endliche Reihe dargestellt werden, so treten ähnliche und in gleicher Weise zu
hebende Schwierigkeiten ein, wie bei der Berechnung von Z7.
Dass man genau zu demselben Ausdruck für % bezw. i sin v und i sin v 2 gelangt, wenn man nicht
X und Y, sondern nur diejenigen Theile davon, welche kein Potential besitzen, in die Rechnung einführt,
ist selbstverständlich. Wenn U 0 = W 0 -\- ßJ (v) ist, so kann Gleichung (23) auf Grund dieser Bemerkung
wesentlich vereinfacht werden, was nicht näher ausgeführt zu werden braucht.
Auf den vorhergehenden Seiten ist gezeigt worden, auf welchem Wege man, ausgehend von den in (6)
bezeichneten Reihen, zur Kenntniss des Potentials, des nicht in diesem begriffenen Theils der horizontalen
Kraft und der als Ursache desselben anzusehenden elektrischen Ströme gelangen kann. Ich habe nun noch
zu erläutern, in welcher Weise jene Reihen aus den beobachteten Zahlenwerthen der Komponenten X, Y, Z
abgeleitet werden können.
