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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 —
Ich denke mir dies für alle Werthe von m ausgeführt und setze
(16). . . Xsinv = X 0 sinv-+YlPi:(-¿r+( TO + 2 )( } «+l)„-Fr +1 ) = X 0 sinv+jrsinv m (A™+(w*+2) (m+l) m F™ +1 )
m— 1 »n. = 1
wobei v wieder den Rang der letzten berücksichtigten Kugelfunktion bezeichnet. Das Integral
U 0 = fX Q dv
o
ist alsdann von der mehrfach angegebenen einfachen Beschaffenheit. Nun setze ich weiter zur Abkürzung
I ■ v dv = I sin v m 1 dv = if“
J smv J
also
(17)
Th 1 = v
#3 3
TI% 2 = 1—cosv
1 1 ' o
- - v——sm 2v
2 4
1 .
1
TJr, = —v . -sin 2 v + , JC - sin
8
32
/74 4 = — — cosv+ —cos Sv
„ . 8 5 , 5 1
/7 6 6 = — — -g-cosv + — cos3 v — ™cos5v
u. s. w.
Unter Anwendung dieser Bezeichnungen folgt schliesslich
m = v
äs) u = (AZ+(M+2)(m+i) m Fr +1 )+x:p: f: =av,z)+u 0
971=1
Unbestimmt, aber auch willkürlich und daher am einfachsten gleich Null anzunehmen bleibt hierin F°-
Bemerkt werden möge noch, dass f(v, X) auch anders bestimmt werden kann. Man kann von den Koeffi
zienten Ä!2 irgend welche Theile absondern, so dass die zurückbleibenden Grössen der
Bedingung (14) genügen, und dann in ähnlicher Weise, wie vorher angegeben wurde, weiter verfahren. Die
verschiedenen hiernach möglichen Funktionen f(v, X), von denen die hier gewählte die einfachste ist und
zugleich den quadratischen Durchschnitt aller Werthe von Xsinv—X 0 sinv am kleinsten macht, unter
scheiden sich natürlich nur um Ausdrücke, welche sich durch endliche nach Kugelfunktionen fortschreitende
Reihen darstellen lassen.
Ich kehre nun wieder zu dem wichtigsten besonderen Falle zurück, indem ich annehme, dass die
bisherigen Rechnungen, deren Resultate in den Gleichungen (8) und (18) enthalten sind, die Existenz eines
Potentials für die ganze Horizontalkraft ergeben. Es ist dies dann der Fall, wenn zugleich
g>(v) = 0 f (v, X) — 0 U 0 = W 0 +ip (v)
gefunden wird. Das Potential V ist der gemeinsame Werth von bU Q und b {W a -\-ty (v)). Die Koeffizienten
in dem Ausdruck von V will ich, dem Beispiele von Gauss und dem bisherigen daran anknüpfenden
Gebrauche folgend, g und h nennen, also
(19) V = bYLPliglcosml + hlsinml)
schreiben. Indem ich hiermit die für die vertikale Komponente gefundene Reihe
Z — YL Pm ÜZ cosml + Ä” sin mX)
Zusammenhalte, kann ich endlich entscheiden, ob ein Theil der erdmagnetischen Kraft auf ausserhalb der
Erdoberfläche zu suchenden Ursachen beruht, und kann, wenn dies der Fall ist, die beiden Theile sondern.
