Adolf Schmidt: Mathematische Entwickelungen etc. 
21 
Dass in der ersten Gleichung ein Glied fehlt, erklärt sich daraus, dass P™ _1 überhaupt nicht vor- 
kommt und gleich Null gesetzt werden darf. Dies hängt mit dem Umstande zusammen, dass die identischen 
Gleichungen (9) auch dann gültig bleiben, wenn in ihnen Kugelfunktionen mit kleinerem oberen als unteren 
Index auf der rechten Seite auftreten, wofern man nur diese gleich Null annimmt. 
Die letzte Gleichung der zweiten Reihe kommt in Wegfall, wenn der Rang der Kugelfunktion, mit 
welcher Xsinv abbricht, v = m (mod. 2) ist; sie ist dagegen zu berücksichtigen für v = (m+1) (mod. 2). 
Im ersten Falle sind die letzten nicht verschwindenden Koeffizienten AZ +2(l und P” l+2/t ~\ im zweiten Falle 
sind dies M” l+2/ ‘ +1 und F™ +2ti . Die letzte Gleichung der zweiten Gruppe ist somit entweder 
0+2^—2)iC +V " 2 = -C +2 ' t_1 oder (m+2^)IZ l+2fl = A™ +2/,+1 
Man kann also zunächst F™ +2f> ~ 2 oder jF^ +2fi und alsdann mit Hülfe der vorhergehenden Gleichungen 
nach einander P” l+2/l ~ 4 - • ■ • P“ +2 , F™ in sehr einfacher Weise berechnen. Eine Ausnahme bildet der 
weiterhin behandelte Fall m — 0, weil in diesem der mit m multiplizirte Koeffizient F™ ausfällt. Die 
letzte Gleichung der ersten Gruppe wird 
(m+2 l ,~l)F^ +2fi ~ 1 = Äl i+2 ‘ u 
und somit kann man auch i^” +2, “~ 1 und darauf rückschreitend J7™ +2 ( 1 ~ 3 . . . . F™ +s , F™ +1 finden. Dabei 
bleibt indessen die erste Gleichung unberücksichtigt; dieselbe wird daher im allgemeinen durch den aus 
der zweiten abgeleiteten Werth von P” l+1 nicht befriedigt werden. Dieser Werth genügt ihr, wie man 
durch Elimination der F findet, nur dann, wenn die Bedingung 
A 
m 
m 
m+2 
m+1 
(«+iU“ +! 
(m+2) (m+4) 
(m+1) (m+3) 
(m+ l) m (rn+3) m 
^jm+4 
+ 
= o 
erfüllt ist. Dieselbe kann in etwas anderer Weise geschrieben werden. Aus der zweiten der mehrfach 
angewandten Identitäten (9) folgt für v = 0 
-(»+D (»). K" 1 {cos 0) +»P: +1 (cos 0) = 0 oder P t n t +1 (cos 0) - P^ 1 (cos 0) 
fv 
Mit Hülfe dieser Formel, in der man nach einander m+1, m+3 u. s. w. für n setzt, kann man die obige 
Bedingungsgleichung nach Multiplikation derselben mit P™ (cos 0) ohne weiteres auf die Gestalt 
(14) p: (COS 0). AZ + PT 2 (cos 0). AZ +2 + +pr +2, ‘ (cos 0). AZ^ = 0 
bringen. Im allgemeinen wird man nun freilich bei numerischen Rechnungen diese Gleichung garnicht zur 
Prüfung, ob die Werthe der A mit einander vereinbar seien, benutzen. Sie gestattet jedoch die Ableitung 
einer wichtigen Folgerung, zu der eine zweite tritt, wenn man die ganz ähnlich wie (14) zu beweisende, 
nach dem Vorhergehenden unmittelbar einleuchtende Beziehung 
(15) PT 1 (cosQ).AZ +1 +P:Z +7i (cosO).A > :^ + = mPr +1 (cosO).iC 
beachtet. Es geht nämlich aus den früher abgeleiteten Gleichungen (7), deren Zahlenkoeffizienten die 
Wertbe von P^ (cos 0) sind, hervor, dass für m = 0 die beiden Bedingungen (14) und (15) — Gl. (15) 
wird nämlich in diesem Falle eine Bedingung, da die rechte Seite den Werth Null annimmt — stets 
erfüllt, sind. 
Ist m von Null verschieden, so findet man, wie schon bemerkt wurde, auch ohne die Anwendung von 
(14), durch die successive Berechnung der P, ob die Gleichungen der ersten Gruppe in (13) einander wider 
sprechen oder nicht. Ergiebt sich ein Widerspruch, indem —(m+2) (m+l) K1 P™ +1 von J.” 1 abweichend 
gefunden wird, so sondere man von Xsinv einen aus der Differenz dieser Grössen als Koeffizienten und 
der entsprechenden Kugelfunktion gebildeten Theil ab. Der verbleibende Rest ist alsdann offenbar in 
Uebereinstimmung mit der Bedingungsgleichung (14).