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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1889 No. 3 —
und man erkennt ohne Schwierigkeit, dass für die hier in Betracht kommenden Werthe von r die Funktionen
tt” und x” ebenso wie die früher definirten p” und g” reell sind und wenig von 1 abweichen.
Ich stelle nunmehr die Werthe der drei Komponenten, wie sich dieselben nach den vorstehenden
Bemerkungen für die Punkte der Erdoberfläche ergeben, zusammen. Dabei führe ich noch die Vereinfachung
ein, an Stelle von pZ [6] u. s. w. kurz p" t zu schreiben.
(21)
n — co nt — n
X
Y =
yb 2 -\-e 2 cosv 2
dP” u (cos v)
dv
n — 0 nt = 0
n. = fj tu = n
[c (C cos m + s Z sin mX ) + PZ (rZ cos m1 + < sin ml)
sin v VP+e 2
n = 0 tu — 0
tiv tl
m PZ (cos v) p/" (s” cos ml— cZ sin ml) + pZ (crZ G0S ~ rZn si n m ^-)
Z =
yi 2 -\-e 2
U =00 ni — n
yb 2 -\-e 2 cos v 2
l = 0 nt = 0
PZ (cos v) ~(n+l)xZ (cZcosml+sZsinml)+nnZ (rZcosml+oZsinml)]
Alle drei Ausdrücke sind den entsprechenden, welche für die Kugel gelten, und in welche sie durch
die Substitution e — 0 übergehn, ganz ähnlich. Sie unterscheiden sich von denselben zunächst durch
gewisse der Einheit nahe kommende Faktoren, die bei Einführung von s für den Quotienten e : b in der Form
1 1 ]/l + 6 2
yi-\-e 2 cosv 2 yi + e 2 yi-ys 2 cosv 2
auftreten. Die Grösse t 2 ist offenbar eine unbenannte Zahl, welche allein von der Abplattung der Erde
abhängt. Nennt man den reziproken Werth der letzteren «, so ist b = («—1) a : a und « 2 = (2 a—1) : (a— l) 2 .
Eine weitere Abweichung der auf das Ellipsoid bezüglichen Formeln (21) von den für die Kugel gültigen
besteht in dem Auftreten der sogenannten reduzirten statt der geographischen Poldistanz. Streng genommen
ist dies nicht einmal als eine Abweichung zu bezeichnen, da diese beiden Winkelgrössen bei der Kugel
identisch werden. (Es lag daher bei der bisherigen Behandlung der Potentialberechnung unter der Annahme
einer kugelförmigen Erdgestalt eine gewisse, freilich durch Bequemlichkeitsrücksichten gerechtfertigte Willkür
darin, dass man gerade die geographische Breite als Argument der Entwicklung einführte. An und für
sich, d. h. ohne eine besondere Untersuchung über die zweckmässigste Festsetzung des Breitenarguments
anzustellen, hätte man ebensogut die reduzirte oder die geocentrische Breite oder überhaupt eine andere
Winkelgrösse einführen können, die sich von diesen nur um einen Betrag von der Grössenordnung der
Abplattung unterscheidet.) Da für die Beobachtungspunkte stets die geographische Breite und damit u das
ursprünglich Gegebene ist, so hat man daraus v abzuleiten. Dies kann mit Hülfe der Gleichung (11) oder
bequemer vermittels der aus letzterer fliessenden Näherungsformel v — « 2 sin2u, deren Fehler
nirgends über 72" steigt, geschehen. Es wäre übrigens nicht schwierig, die Gleichungen (21) so umzuformen,
dass darin nicht v sondern u auftritt; sie würden dabei indessen wesentlich an Einfachheit und Uebersichtlichkeit
verlieren, ohne dass dieser Nachtheil durch eine nennenswerthe Abkürzung der numerischen
Rechnung aufgewogen würde.
Man erkennt leicht, dass durch die bisher berührten Umstände die Potentialberechnung nur einen
ganz unbeträchtlichen Zuwachs an mechanischer Rechenarbeit erfährt, wenn man die Abweichung der Erde
von der Kugelgestalt berücksichtigt. Dagegen erfordert die Bestimmung der Koeffizienten p, q, tc, x, durch
welche sich die für das Ellipsoid gültigen Formeln von den auf die Kugel bezüglichen schliesslich noch
unterscheiden, eine ziemlich langwierige Zahlenrechnung. Aber diese kann offenbar ein für allemal im
Voraus durchgeführt werden, da jene Koeffizienten weder von den Beobachtungsresultaten noch von der
Lage der Beobachtungspunkte, vielmehr allein von der Abplattung der Erde abhängen. In der That
bezeichnen ja jene Konstanten die Werthe gewisser Funktionen für das Argument (ib : e), d. h. (i : s) oder
i (a— 1) : U2 a—1.
