Adolf  Schmidt:  Mathematische  Entwickelungen  etc.

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Formeln  voraus,  welche  bei  kugelförmig  gedachter  Erde  gelten.  Es  ist  dies  auch  deshalb  zweckmässig,
weil  ich  in  der  Festsetzung  der  Vorzeichen  in  zwei  Punkten  von  dem  bisherigen,  aufGauss  zurückgehenden
Gebrauch  abweiche.  Ich  lege  nämlich,  wie  zur  Erläuterung  und  Rechtfertigung  kurz  bemerkt  sein  möge,
meinen  Rechnungen  diejenigen  Festsetzungen  zu  Grunde,  welche  in  der  theoretischen  Physik,  zu  welcher
die  Lehre  vom  Erdmagnetismus  ja  auch  gehört,  allmählich  herrschend  und  jetzt  fast  allein  üblich  geworden
sind.  (Man  vergleiche  hierüber  einen  Aufsatz  von  Budde  im  Februarheft  der  „Annalen  der  Physik  und
Chemie“  vom  Jahre  1887.)  Wenn  es  sich  dabei  auch  nur  um  eine  für  die  Theorie  selbst  ganz  gleichgültige
Aeusserlichkeit  handelt,  so  ist  doch  in  praktischer  Beziehung  die  Durchführung  einer  bestimmten,  allgemein
angenommenen  Bezeichnungsweise  gerade  in  der  Lehre  vom  Potential  werthvoll  und  anzustreben.
Um  die  Lage  eines  Punktes  in  Beziehung  auf  die  Erde  zahlenmässig  auszudrücken,  sei  zunächst  ein
orthogonales  Koordinatensystem,  dessen  Axen  sich  im  Erdmittelpunkt  schneiden,  angenommen.  Die  positive
Halbaxe  der  '§  sei  nach  dem  Nordpol  gerichtet,  während  diejenige  der  nj  den  Aequator  im  Meridian  von
Greenwich,  diejenige  der  £  denselben  in  dem  um  90°  weiter  nach  Osten  gelegenen  Punkte  schneide.
Ein  Auge,  welches  entlang  der  ersten  Axe  vom  Negativen  zum  Positiven  sieht,  hat  also,  der  üblichen
Festsetzung  entsprechend,  die  dritte  Halbaxe  rechts  von  der  gleichnamigen  zweiten.  In  hiermit  übereinstimmender ­
  Anordnung  werde  an  jedem  Punkte  der  Erdoberfläche  ein  Koordinatensystem  mit  der  x-Axe
nach  Norden,  der  y-Axe  nach  Osten  und  der  z-Axe  vertikal  nach  unten  festgelegt.  (Aehnlich  kann  man
an  jedem  beliebigen  Punkte  verfahren.  Man  hat  nur  an  Stelle  der  Erdoberfläche  die  zu  ihr  konzentrische,
durch  jenen  Punkt  gehende  Kugelfläche  zu  setzen.)  Die  nach  den  drei  bezeichneten  Richtungen  gebildeten
Komponenten  der  erdmagnetischen  Gesammtkraft  T  nenne  ich  X,  Y,  Z.  Bei  der  zweiten  ist  das  Vorzeichen
dem  von  Gauss  eingeführten  entgegengesetzt.  Im  Zusammenhänge  hiermit  muss  die  Deklination,  welche
Gauss  bei  westlicher  Abweichung  des  nördlichen  Nadelpols  als  positiv  zählt,  hier  bei  östlicher  Abweichung
das  positive  Vorzeichen  erhalten.  Die  letztere  Zählweise  empfiehlt  sich  übrigens  auch  durch  ihre  Uebereinstimmung
  mit  der  gebräuchlichen  Azimutzählung.
In  den  folgenden  Betrachtungen  gehe  ich  zunächst  von  der  Annahme  aus,  dass  die  erdmagnetische
Kraft  von  einer  Vertheilung  gleicher  Mengen  von  freiem  positiven  und  negativen  Magnetismus  herrühre.
Die  unter  dieser  Annahme  erhaltenen  Resultate  behalten  im  allgemeinen  auch  dann  ihre  Gültigkeit,  wenn
jene  Kraft  ganz  oder  zum  Theil  auf  elektrischen  Strömungen  beruht.  Nur  für  solche  Raumgebiete,  welche
von  den  Strömen  selbst  durchflossen  werden,  sind  gewisse  Abänderungen  nöthig,  auf  welche  ich  im  nächsten
Abschnitt  eingehen  werde.
Das  Potential  einer  magnetischen  Masse,  deren  Dichtigkeit  im  Raumelement  dk  gleich  y  ist,  besitzt
in  einem  Punkte,  welcher  von  jenem  Element  die  Entfernung  R  hat,  den  Werth

wenn  die  Integration  über  den  ganzen  von  Magnetismus  erfüllten  Raum  erstreckt  wird.  Die  in  irgend  einem
Punkte  nach  der  Richtung  eines  Linienelements  dp  wirkende  Kraft  ist

(2)-dV


dp  ’

also  speciell  X  =

dV
dx  ’

Y  =

dV
dy’

clV
dz

Sie  ist  also  positiv  in  der  Richtung  von  höheren  zu  niederen  Potentialwerthen.  Gauss  bezeichnet  den
Werth  des  in  (1)  angegebenen  Integrals  mit  —V  und  erhält  daher  die  in  irgend  einer  Richtung  wirkende
Kraft  als  den  in  derselben,  nicht  wie  hier  als  den  in  der  entgegengesetzten  Richtung  genommenen
Differentialquotienten  des  Potentials  V.
Die  Grundlage  für  die  Auswerthung  des  obigen  Integrals  bildet  nun  in  jedem  Falle  die  Darstellung
der  reziproken  Entfernung  zweier  Punkte  in  einer  die  Ausführung  der  Integration  möglichst  erleichternden
Form.  Die  Wahl  dieser  Form  hängt  von  der  Gestalt  derjenigen  Oberfläche  ab,  für  deren  Punkte  das
Potential  nebst  seinen  Differentialquotienten  in  erster  Linie  zu  bestimmen  ist,  hier  also  von  der  Erdoberfläche.*) ­
  Wird  diese  als  kugelförmig  angesehen,  so  hat  man  die  bekannte  Entwickelung  nach  Kugelfunktionen ­
  vorzunehmen.  Zu  diesem  Zwecke  führt  man  die  durch  die  Gleichungen

*)  Ist  eine  regelmässige  Vertheilung  der  wirkenden  Masse  gegeben,  so  wird  man  unter  Umständen  diese  für  die  Wahl
der  Darstellungsform  bestimmend  sein  lassen.