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Es sind dies die Gleichungen der Raumkurve des Punktes P in seiner relativen Bahn,
bezogen auf das Polarkoordinaten-System der r, cp.
Durch Elimination der Zeit t können wir diesen Gleichungen eine andere Form geben, die sich für
spezielle Lagen des Punktes P als eine sehr übersichtliche erweist, die sich aber ändert, sobald P in einen
anderen Oktanten übergeht.
Der Punkt Pliege im positiven Oktanten der x', y\ z', also 0 und ip zwischen Ound 90°.
Zu einem positiven + gehört dann ein Werth tp + g' im ersten Quadranten, da sowohl sin {cp + cp') als
auch cos (cp + cp') positiv sind; aus denselben Ueberlegungen ist einem negativen + ein im zweiten
Quadranten liegender Werth von (<p + 5p’) zuzuordnen.
Mithin haben wir:
(7 a )
f + &’> 0:
ifj + S-' <0:
Hieraus geht hervor, dass wir den drei letzten Gleichungen (7) auch die Form geben können;
(8) ...
zp + &'> 0: & = arc cos (sin 6 . cos (ip + ; y> = arcsin —9
(sin 6 . cos (ip + ü')j; cp = n — arc sin -
7p + y< 0:
arc cos
Da ferner die Formeln (2 b ) die Relation:
^' 2 , 9 2
h' 2 ^ h 2
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nach sich ziehen, so lässt sich aus den Gleichungen (7 a ) unmittelbar die Zeit t eliminiren.
Die Kurve eines im positiven Oktanten der x', y\ z' liegenden Punktes lässt sich
also in den Polarkoordinaten der r, ■&, cp auch durch das Gleichungen-System darstellen:
r = ri 2 -\-y ,2j c z' 2
Aelmliche Gleichungen gelten auch, wenn der Punkt P in einem der 7 anderen Oktanten liegt. Wir
brauchen aber nur den Verlauf der Kurve eines Punktes im positiven Oktanten zu diskutiren; denn es gilt
der leicht zu erweisende Satz: „Liegen 2 Punkte symmetrisch in Bezug auf eine der drei
Koordinaten-Ebenen der x\ y',z\ so liegen die von diesen Punkten durchlaufenen Bahnen
symmetrisch in Bezug auf die entsprechende Ebene der x, y, z.“
Wir wollen ferner die spezielle Voraussetzung
a" = sin
machen, welche ebenso -wie Annahme a = cos &' die Position des beweglichen Punktes zu den Zeiten
t — 0, 2, 4, 6 . . . genau angiebt, und welche wegen des grossen Betrages von tg y — 3.4 der Gleichung (4)
sogar noch besser als die erstere Annahme entspricht. Wir erhalten dann zunächst das Gleichungen-System:
