Ertel, H.: Tensorielle Theorie der Turbulenz,
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wobei über alle sieben Indizes i, j}, k, l, m, p und q von 1 bis 3 zu summieren ist,
Somit stehen auf der rechten Seite von (78) 2187 (= 37) Terme, die sich aber auf
Grund der Orthogonalitätsrelationen
1, wenn l= m,
(79) 911 21m = { 0, wenn + m,
und der Transformationsgleichungen (74) auf neun quadratische Terme reduzieren.
Es folgt nämlich wegen (79) zunächst aus (78):
Va DV
{S0) D = Mix *jp ka Sb, Sb be
und daraus nach (74):
3 3
dV. SV eV. \2
81) ES E (52)
Pq db, Oh, 2 A ‚7 \ Sb,
womit der positiv-definite Charakter der Dissipationsfunktion bewiesen ist.
3. Die Reibungsterme von Prandtl und Taylor als Spezialfälle
der tensoriellen Theorie.
Sind in den Reibungstermen (62) hinsichtlich der Raumkoordinaten die
Größen vi und %ıx nur Funktionen der Vertikalkoordinate x, = z, so reduzieren
sich die Ausdrücke (62) auf
82 3 ÖY, 08, DM, dr
© RS SE (la 52] 5 aa 5 da DE
also auf die Prandtische Form der Turbulenzreibung mit 7: = %ız (z). Nach
G. J. Taylor soll aber unter diesen Voraussetzungen R; mit %zz = 7:2 (z) die Form
By,
Ri =
haben (16), Es hat sich bisher nicht entscheiden lassen, ob die Prandtlsche
Form (82) oder die Taylorsche Form (83) die Turbulenzreibung in der Atmo-
sphäre und im Ozean richtiger darstellt, was auf Grund der tensoriellen Theorie
nicht verwunderlich ist, denn beide Formen (82) und (83) sind nur Spezialfälle
eines weit allgemeineren Sachverhalts: Wenngleich nämlich die vı= vı(z) nur
Funktionen von z sind, so kann doch dabei der durch Größe und Richtungen
der Hauptachsen der Austauschellipsoide charakterisierte Turbulenzzustand sich
auch mit den horizontalen Koordinaten ändern, was einer „Umorientierung“ und
Deformation der Austauschellipsoide entspricht. Setzen wir also
(84) Y; F3 % {z, 0, Nik - Nix (x, ‚2, t) *
so ergeben die Gleichungen (62):
07, Ca ONyz $n., \ OD
(85) Rı= Yan za Ft (> ty + 2) Dz
und man erkennt, daß das Verschwinden der Divergenz des-Vektors %xz, Nyı,
Yız also 5 5 a
xx Ye zz
(86) x tray tr 94
auf die Taylorsche Form (83), das Verschwinden der „horizontalen Divergenz“
(Divergenz der Horizontalkomponenten %xz, %yz des Vektors Yxz, Nyıı Nız), also
87 ÖNxz , Ms 0
( ‘ dx + dr = My
auf die Prandtlsche Form (82) führt. Welcher Fall in der Natur realisiert ist,
oder ob beide Fälle vorkommen, kann offenbar nur durch Beobachtungen ent-
schieden werden. Vom reinen formalen Gesichtspunkt wäre (86) und damit die
Taylorsche Form (83) wohl befriedigender, und tatsächlich glaubte Sakuraba (17)
kürzlich feststellen zu können, daß die Taylorsche Form (83) die Beobachtungen
besser darzustellen vermag; jedoch ist ein abschließendes Urteil darüber zur Zeit
noch nicht möglich.
(83)
