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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Mai 1937,
Der Vergleich von (73) mit (71) zeigt die Richtigkeit der Gleichungen (62), wenn
78)
OÖ ÖY,
DS ix SE da
a
als Dissipationsfunktion interpretiert werden kann. Den dafür notwendigen Be-
weis, daß nämlich der Ausdruck (72) eine positiv-definite Form darstellt, werden
wir durch eine Hauptachsentransformation im nächsten Abschnitt beweisen.
Übrigens erkennt man an dem Ausdruck (72) der Dissipationsfunktion die
Zweckmäßigkeit (im Sinne wissenschaftlicher Ökonomie) unserer Definition der
äquivalenten Verschickung £&, durch die wir ja nach (15) die Symmetrie von %;x
arzielten. Denn ein antimetrischer Anteil von x würde nach (72) keinen Bei-
irag zur Dissipationsfunktion liefern, da für einen antimetrischen Tensor
(djx = — dj) de, de
1 0%
ix FEN Dar = Ö
resultiert.
Übrigens läßt die hier gegebene energetische Ableitung der Turbulenz-
reibung (62) klar erkennen, daß für die Impulsübertragung aller drei Kom-
ponenten vı einheitlich derselbe Austauschtensor maßgebend ist, der nach (64)
den Austausch der ausgeglichenen kinetischen Energie bestimmt. Es muß näm-
lich folgendes beachtet werden: Jede der skalaren Eigenschaften €, £‘, £” &” usw.,
die zugleich im turbulenten Stromfeld dem Austauschprozeß unterliegen, verlangt
ainen eigenen Austauschtensor:! %jx (8), %ır (€), Yıx (€), Yıx (6) usw.; das beruht
darauf, daß die in den %:-Komponenten enthaltenen äquivalenten Verschiebungen
bzw, die entsprechenden Mischungswege „verschieden ausfallen, je nachdem man
den Ausgleich der mittleren Geschwindigkeit oder der Temperatur, oder der
Konzentration einer gelösten Substanz ins Auge faßt“, [J. M. Burgers(13)]. Die
Übertragung der drei Vektorkomponenten vı wird aber einheitlich durch den-
selben Tensor #ıx bestimmt, der den Austausch des Skalars (63) regelt, wie unsere
energetische Ableitung des Reibungsterms (62) gezeigt hat.
2. Hauptachsentransformation der Dissipationsfunktion,
Wir beweisen nunmehr den positiv-definiten Charakter der Dissipationsfunk-
tion (72). Es seien h; (i = 1,2, 3) die Koordinaten des Hauptachsensystems, In
diesem System nehmen die Komponenten %;;x die Werte
Ey 0 ©
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OÖ O Eos
Ernsı wenn d=p,
Eoa={0”) wenn qtp.
Dabei gilt nach der Transformation von Tensorkomponenten :
GA) Epa = 8jp fra Dik>
wobei ajp den Kosinus des Winkels zwischen der x;- und h„.-Achse bezeichnet;
ferner gilt:
] 8 d d 8
(75) dx, ph FE 9x4 Oh,
und zwischen den Geschwindigkeitskomponenten vı im x;-System und den ent-
sprechenden Komponenten v; im hb;-System besteht der Zusammenhang:
(76) => Vo
oder mit geändertem Summationsindex:
(77) = Am Va
Substitution von (75), (76) und (77) in (72) führt auf die Gleichung
dVı Va
D = ix ip x %;1%m 53h Dh,
an, also (p,q = 1,2, 3):
