312 - Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, August 1926, 
wurzeln — deren es n voneinander verschiedene gibt®) — für alle n = $ bis 
n = 40. Denn fügt man die unter cos iz und sin iz, d.i. die in der vierten und 
sechsten Spalte von Tafel I der „Rechentafeln“ gemachten Angaben zu einer kom- 
plexen Zahl zusammen, so erhält man 
4) 00627 EA rein Zn, 
wenn zur Abkürzung 
2x ‚2x 
2) cos — + 1sin——- = & 
zesetzt wird. i bedeutet hier V—1. Statt des in cos iz und sin iz verwendeten 
Buchstabens i wird, um Verwechslungen zu vermeiden, k zur Bezeichnung der 
Nummer der Ordinate*) gewählt. 
Die alle untereinander verschiedenen Werte 
(3) 1, € 2, 8,... 87 
liefern, in ihren reellen und imaginären Teil gespalten, gerade jene für die har- 
monische Analyse erforderlichen cos iz und sin iz, welche für n==3 bis n = 40 
in Tafel XI angegeben sind. 
Diese Darstellung ermöglicht es, sofort festzustellen, ob ein gerade benötigter 
Wert von cos iz oder sin iz, wenn n größer‘) als 40 ist, in Tafel I vorkommt, 
Will man z. B. die Faktoren ermitteln, mit denen der Besselschen Formel gemäß 
die vierte von 21%) gegebenen Ordinaten, d. i. us, multipliziert werden muß, so 
hat man nach der jetzt mitgeteilten Anweisung nur zu überlegen, daß (Yı) == vi 
ist, um zu wissen, daß man dieselben Faktoren auch bei der zweiten Ordinate 
einer die ganze Periode umfassenden Anzahl von 7 aequidistanten Werten findet. 
In der Tat enthält auch Tafel I der „Rechentafeln“ für n= 7, i=1 dieselben 
Angaben, wie unter n = 21, i = 3, die übrigens seinerzeit, wie aus der Einleitung 
hervorgeht, sicherheitshalber unabhängig voneinander berechnet wurden, Diese 
Überlegungen sind so einfach, daß ich davon Abstand genommen habe, den „Rechen- 
tafeln“ ein Register mit den Winkelwerten als Eingang beizufügen, 
Von Wichtigkeit ist ferner die Beziehung 
_ „dk 
{4) 
wobei 
(3) 
nk 
„A cos? k_ zein 27}, 
n Rn 
Man entnimmt ihr sofort, daß z, B. für n = 15 e-—* = 8 ist oder, in Worten, 
daß die für n =15, bei i= 4 und i=11 unter cos iz vorhandenen Angaben 
gleich, unter sin iz entgegengesetzt gleich sein müssen. 
Schon diese Tafel I an sich erleichtert die harmonische Analyse von 3 bis 40 
gegebenen Funktionswerten auch ohne Benutzung irgendeiner Faltung sehr, da 
sich mit ihrer Hilfe längere Rechnungen vermeiden lassen und die Ermittlung 
der Karmonischen Konstituenten (p, q) in übersichtlicher und daher sicherer Weise 
mit Rechenschieber oder Rechenmaschine allein erledigt werden kann, ; 
Bei der harmonischen Analyse einer großen Anzahl von Ordinaten ist es gut, 
das Gesetz der Verteilung‘) der Vorzeichen, besonders aber der absoluten 
Beträge der in die Formeln für p und q eingehenden Faktoren zu kennen. 
Man hat zwei Fälle zu unterscheiden: Die Anzahl der gegebenen Funktions- 
werte ist ungerade oder gerade. 
3) Val. z.B. H. Weber und J. Wellstein, Enzyklopädie der Elementar-Mathematik, Leipzig 
1906. B. G. Teubner, S. 350 ff, 
') Die Numerierung der Ordinaten beginnt, was für das Folgende festzuhalten ist, mit Null. 
% Für n << 40 sind ja alle cos iz und sin iz in Tafel X enthalten, 
6) Um die. Kontrolle mit Tafel 1 der „Rechentafeln“ zu ermöglichen, wird als Beispiel n=21, 
also kleiner als 40, gewählt, obwohl in diesem Falle eine Ermittlung der Faktoren durch Tafel I 
überflüssig gemacht wird. 
7) Bis 40 Ordinaten ist dies nicht erforderlich, da ja Tafel I die ausführlichen Rechenvorschriften gibt.