Kr
2)... . y= 2a.lognattan (Yır + '/ €),
wo es keiner Integrationskonstanten bedarf, weil für # = 0 auch y= 0
werden muss. ;
Zu diesen zwei Gleichungen kommt noch eine dritte, welche ausdrückt,
dass der grösste Kreis BP (Fig. 1) den Aequator unter dem Winkel y schneidet,
Das bei M rechtwinkelige sphärische Dreieck BMP besitzt nämlich die Katheten
A—ßB, @ und den Winkel y, und daher ist
3) . . . . tany. sin (A—ß) = tan g.
Denkt man sich (a, 8, y als bekannt vorausgesetzt) dem x einen be-
liebigen Werth ertheilt, so erhält man A aus Gleich, 1), dann & aus Gleich. 3)
und schliesslich y aus Gleich. 2).
Um die Gleichung der Kurve B‘P‘ (Fig. 2) nur in rechtwinkeligen
Koordinaten auszudrücken, muss man aus den Gleichungen 1), 2), 3) eine
einzige herleiten, welche die Variablen A und & nicht enthält; die letzteren
sind also zu eliminiren. Die Gleichung 1) giebt nun
X
4) . on) A = a?
ferner folgt aus der Gleichung 2):
y
e* = tan (Yan +’! gp),
oder, wenn die bekannte trigonometrische Formel
tan 20 — 2 tan w
“ 1—tan? w
auf den Fall w =— !ır + 1a p angewendet wird:
y
ian (om -+g) = A,
1—e*
d.h. weil die linke Seite = — cotang ist,
y
cotan @ = 20 «“
=
e* —1
und umgekehrt:
2y 2y —y
e e*—_1_e%—_e *
3) . .., ang = ——
2 e*
Substituirt man endlich die Werthe von 2 aus 4) und von tangp aus 5)
in Gleichung 3), so erhält man als Gleichung der Kurve BP‘:
zZ nz
R a
8) +... tany.sin (© — g) ="
Bisher wurden ß und y als bekannt vorausgesetzt; sind sie dies nicht,
und ist statt dessen die Bedingung gegeben, dass die Kurve durch zwei Punkte
yehen soll, deren Längen A:, 42 und deren Breiten 1, #2 sind, so müssen
$ und y mittelst der beiden aus 3) folgenden Gleichungen
7) . . . tany.sin (41 — ß) = tangı, tan y. sin (42 — ß) = tan 2
berechnet werden. Der Quotient beider Gleichungen, nämlich
sin (4e — ß) __ tan ep
sin (41 — 8) tan gı’
enthält nur die eine Unbekannte, welche man leicht durch Auflösung findet.
Dieselbe ergiebt (
A + A1 )= % + gı) Az — A1
- tan ( zB gin (g2 — gı) tan —5—
d. h. man berechnet erst den Hülfswinkel & nach der Formel
„0. tmg= ia +) Un
sin (ge — gı) 2
A
and
dann ist
