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Aus dem Archiv der Deutschen Seewarte — 1900 No. .
ganzen 1 |a~| + 2 [ct 3 ] + 3 [«*] -f..... + (re«— 1) [re ?l “] mal die Möglichkeit, dass auf ein a wieder ein a folge.
Da die ßeilie re« Grössen a enthält, so ist demnach die Wahrscheinlichkeit, dass auf a wieder a folge,
gegeben durch:
* j|a 2 | + 2|ß J1 1 , im r " n "
W a
■+(«•- !)[«"“]
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich aber auch direkt unmittelbar herleiten.
(»«, î.,ï—2)!
Heben wir nämlich aa
heraus, so gestatten die übrigen Grössen-,
, , verschiedene Gruppirungen. Da die Folge aa in
\n a •
jeder Reihe 1) verschiedene Stellungen einnehmen kann, so wird in allen Reihen aa im ganzen
6 » *—Vorkommen und somit, wenn man durch die Zahl aller möglichen Reihen Z a h <■ divi--2)!
«6! re<-! ö
(re«
dirt, im Mittel
re« (fl g 1)
fia, b, c
mal zu erwarten sein. Da weiter re« Grössen a vorhanden sind, so erhält man
demnach auf diesem direkten Wege für die Wahrscheinlichkeit, dass auf eine Erwärmung wieder eine Erwärmung
folge, den Werth W aa *) =
re«—1
re«, b, c
als einen einfachen Ausdruck für die dem Zufall zukommende
Erhaltungs-Tendenz des Vorzeichens der interdiurnen Temperatur-Aenderung.
Eine mit der Erhaltungs-Tendenz in gewissem Zusammenhang stehende Grösse ist die Anzahl der
in einer gegebenen Periode beobachteten Zeichenwechsel der interdiurnen Aenderungen. Zählen wir diese
so, dass ein Tag ohne interdiurne Aenderung (0.0) bei dem Zählen der Uebergänge von + zu — einfach
überschlagen wird, so würden in unserer obigen Bezeichnung alle Folgen ab, ach, ac 2 b u. s. w. und die entsprechenden
ha, bca, hc-a u. s. w. in Betracht kommen. Verfährt man in derselben Weise wie oben bei
der Herleitung der mittleren Häufigkeit von aa, so erhält man als Werth für die dem Zufall allein zu dankende
mittlere Zahl von Zeichenwechseln
2 n a n h
Mire,
4s+
rea,b.v V re«, b, e 1 rea,b,c 1 fia,b,c
Für den Fall, dass es sich bei einer Reihe um nur zwei und an Zahl gleichhäufig auftretende verschiedene
Grössen handle, hat Quetelet**) eine Formel für die dem Zufall zu dankende mittlere Häufigkeit
der Perioden verchiedener Länge gegeben: »En nommant Wie nombre total de jours, les périodes de 1,
de 2 etc. jours, sont représentées par les termes de la série -- 2 -+ 93-+ ^¡-+ • • ■ - , dont la somme vaut ; il
en résulte que le nombre des périodes devrait être la moitié du nombre des jours. D’ailleurs, il est bien clair
qu’en multipliant le nombre de fois que chaque période se présente par le nombre de places qu’elle comprend,
on doit trouver la totalité des jours, ce qui se montre par l’égalité +. - • = W«.
Diese letztere Bedingung müsste allerdings, falls jene Formel für die Länge der Periode richtig wäre, erfüllt
sein — ist es jedoch, was Quetelet übersieht, keineswegs allgemein, sondern nur für N = 00 , also
für eine unendlich lange Beobachtungsreihe. Da es sich jedoch stets um endliche Reihen bei derartigen
Aufgaben der Meteorologie handelt, so gilt die von Quetelet aufgestellte obige Formel nur angenähert und
*) Durch Gleichsetzung der beiden Werthe Woa ergiebt sich durch Einführung neuer Grössen A, B, C\
A . „ A ,1-1 + f4j _ n A 1 = _ (£+1) i*+2)
B B-1
1+2
B
+(jî+ i)4é4=ï>
1 ; £ B-1
Diese Relation schien die Verallgemeinerung zuzulassen:
v 1 , ,, An (B+k)u
2, (n + A—Jhn-p— =
DH
R-A + l (B-A+l){B-A+‘2 '
wo die Indices n und k Binomial-Koefflzienten andeuten.
(B—A + k)k
Bei dem Versuch, diesen Satz für k = p + 1 als richtig zu erweisen, falls er für K = ¡i gilt, ergab sich die allgemeinere
Formel
Pk
Qk
:« (P-k+k-n),
(n + A — A—1)»
(P-Qh
Z 0 (P-A+A,)i v ' (P~kl„
für /’> Q, für die vom Verfasser späterhin der Beweis gefunden und gezeigt wurde, dass sie nebst weiteren ähnlichen Formeln,
auch solchen für Q >P, für alle positiven und negativen ganzzahligen Werthe von P. Q, A und k, auch für P und > Q gilt.
**) Quetelet: Mémoire sur la température de l'air à Bruxelles (S. 38). Bruxelles 1867.
