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Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, Dezember 1943. 
Kleinere Mitteilungen. 
1. Zufallsrhythmen, Jede Folge von Zahlen, in der fast alle aufeinander- 
folgenden Werte verschieden voneinander sind, zeigt ein Auf und Ab der Werte, 
und es entsteht nun die Frage, ob bestimmte Abstände der Extreme voneinander 
bevorzugt werden, oder mit anderen Worten, ob jede Zahlenfolge streckenweise 
Perioden bestimmter Länge vortäuscht. 
Zur Untersuchung dieser Frage denken wir uns eine zufällige Folge von 
Zahlen, wählen aus dieser eine Stelle aus — zunächst nahe am Mittelwert des 
Kollektivs —, bei der nach einem gewissen Wert ein niedrigerer und dann 
wieder ein höherer kommt, Die Werte zeigen also den Gang VS. Bei zu- 
[älliger Verteilung der Werte ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nach diesen 
drei Zahlen ein Wert kommt, der größer oder kleiner ist als der letzte dieser 
drei, je $. In dem Fall, daß nunmehr wieder ein kleinerer Wert kommt, haben 
wir einen 2gliedrigen Rhythmus vor uns, Es hat also der Rhythmus der 
Länge 2 die Eintreffwahrscheinlichkeit & Die andere Möglichkeit, die für die 
Fortsetzung der Folge besteht, ist “cc ; für deren Eintreffen wiederum die 
Wahrscheinlichkeit w=> ist. Da aber noch nicht sicher ist, was rechts von 
dieser Teilfolge kommt, kann man ihr noch nicht die Bedeutung eines Rhythmus 
beimessen, Das kann man erst, wenn man weiß, daß der nunmehr folgende 
Wert kleiner ist als der vierte der bisher betrachteten, also SC, Dieser Fall, 
der einen dreigliedrigen Rhythmus darstellt, hat wieder die Wahrscheinlichkeit & 
in bezug auf die Teilfolge für sich. Da der Teilfolge selbst nur w = zukommt, 
so ist w für das Eintreffen eines dreigliedrigen Rhythmus nur  - Allgemein 
kann man sagen: Die Wahrscheinlichkeit w„ für das Eintreffen eines n-gliedrigen 
. 1 x 1 . . . 
Rhythmus ist wn = nt Da X = 1 ist, werden durch diese Formel alsodie 
& u=2 
Wahrscheinlichkeiten aller überhaupt vorkommenden Zahlenzusammenstellungen 
erfaßt. Man kann die Summe X w,. auch als Zahl aller Fälle betrachten. Das 
n=2 
ist dann notwendig, wenn man sich fragt, welches n dem Durchschnitt aller n 
am nächsten kommt oder der Durchschnitt selbst ist. Die durchschnittliche 
Rhythmuslänge wird durch die Formel 
- 1\a—1 
_ x a. (3) 
DD = 2- Bi _ 
11\1s—1 
2 (2) 
N = 
geliefert, Der Zähler dieses Bruches ist die Länge aller Rhythmen zusammen 
(also die Länge der Folge), der Nenner deren Anzahl, Zahlenmäßig sieht der 
Zähler so aus: 2 3 4 5 6 
| za ts Fate 
Um die Summe dieser Reihe zu ermitteln, spaltet man die einzelnen Glieder so 
auf, daß jeder Zähler 1 ist, ordnet die Werte um und macht von der Formel 
x an = 1 mehrfach Gebrauch. Aus dieser Rechnung folgt dann, daß der 
K=1 ı 
Zähler den Betrag 3 hat. Da nun, wie wir schon weiter oben gesehen haben, 
der Nenner 1 ist, so wird n=23, d. h. die durchschnittliche Länge der in einer 
zufälligen Zahlenfolge enthaltenen Rhythmen beträgt 3. Das ist wohl auch der 
Grund dafür, daß viele Autoren glauben, .in irgendwelchen Reihen 3jährige oder 
3tägige Perioden feststellen zu können, Denn wenn man bei einer Reihe ohne 
Periodizitäten und ohne sonstige Gesetzmäßigkeiten in ihrer Bildung die Maxima