136 Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, April/Juni 1943,
Erdbeschleunigung, x, y Abszisse und Ordinate eines Punktes in einem recht-
winkligen Koordinatensystem. R’ und R” sind die Komponenten der Reibungs-
kraft in bezug auf die Koordinatenachsen. Für die vorliegende Aufgabe ist es
zweckmäßig, einen möglichst einfachen und praktisch brauchbaren Ansatz für die
Reibungskraft zu erhalten, und zwar wird in Vektorform gesetzt
{R/, RR) = e{u, v} ,
d. h. die Reibungskraft ist proportional der Geschwindigkeit. Eine besonders ge-
eignete Wahl des Reibungskoeffizienten © ist von Lorentz!) getroffen worden,
und zwar in der Weise, daß die bei linearem Reibungsansatz während einer
halben Periode geleistete Arbeit gleich der bei quadratischem Ansatz geleisteten
Arbeit während des gleichen Zeitraumes ist,
Dieser Ansatz läßt sich auf zwei Dimensionen verallgemeinern und soll im
folgenden verwendet werden. Wenn o + io = A gesetzt wird, gehen die Gleichungen
(1) über in z _—_
u—ay+tEi2=% + hu), +hv.=0.
2) au+kir+gi,=0, + hu), + (hv),
Zunächst wird festgestellt, ob durch Vorgabe einer der drei Funktionen u,
v, 5 die restlichen zwei durch die Gleichungen (2) eindeutig festgelegt sind, Sind
etwa zwei Systeme (2) mit übereinstimmendem £ vorhanden, so folgt durch Diffe-
renzenbildung, daß
Au—ar=0, au+21v=0, (hu), + h7), = 0,
Diese Gleichungen besitzen aber nur dann nicht verschwindende Lösungen,
wenn «*-+ 2=0, d.h. g=0 und a=o. Dieses ist der Fall, wenn Trägheits-
schwingungen auftreten und die Reibung verschwindet, Es gilt also:
Durch Vorgabe der Funktion Z ist die Geschwindigkeitsverteilung eindeutig
bestimmt, sofern die Reibung ungleich Null ist und keine Trägheitsschwingungen
auftreten, Ist im anderen Fall eine der Geschwindigkeitskomponenten gleich
Null, gilt beispielsweise v=0, so folgt aus (2)
Au+gi,=0, au+giy=0, 105 +4 (hu), = 0.
Für Q==0 ist dieses System in einer früheren Arbeit?) untersucht worden,
und zwar sind nur für ganz besondere Tiefenverteilungen Lösungen vorhanden.
Wird also von diesen Ausnahmen abgesehen, so gilt:
Ist eine der drei Funktionen u, v oder X des Systems (2) in G bekannt, so
sind die restlichen zwei Funktionen eindeutig bestimmt.
Dieser Satz gestattet nunmehr die Beschränkung der Untersuchung auf die
aus (2) leicht herzuleitende Differentialgleichung für Z. Diese lautet:
bh, & %) (se a ) io(a? 42°) ( 8? 7)
© at (% tl 7 h ghi = A dt .
Diese Differentialgleichung kann als verallgemeinerte Differentialgleichung
vom elliptischen Typus betrachtet werden. Für die Klasse von Funktionen, die
Lösung derartiger elliptischer Differentialgleichungen sind, ist kennzeichnend,
daß 5 im Innern von G durchweg eindeutig bestimmt ist, wenn & auf der Rand-
kurve bekannt ist, d. h. wenn die Randwerte von 5 vorgegeben sind, Der Nach-
weis dieser Tatsache wird mit Hilfe des Gaußschen Satzes, der den Zusammen-
hang zwischen Flächen- und Kurvenintegral herstellt, erbracht, und zwar ergibt
sich folgende Gleichung:
[fi io + ET gbalt + Ey Ey) agh(Et,— 0, El) dxdy [Ends
G
b„. bedeutet die Normalkomponente der Geschwindigkeit auf €; durch einen Quer-
strich ist der Übergang zum konjugiert komplexen Wert angegeben. Nach einigen
3) Vergl. f. Th. Thysse, Berechnung von Gezeitenwellen mit beträchtlicher Reibung in „Vor-
träge aus dem Gebiet der Hydro- und Aerodynamik (Innsbruck 1922)“, herausgegeben von
Th. v. Karmann, — 2) W. Hansen, Alternierende Gezeitenströme usw., Ann, d. Hydr, usw. 1942, S. 65.
