1292

Annalen der Hydrographie und Maritimen Meteorologie, April/Juni 1943,

Ein einfacher Beweis des Clairautschen Theorems.
Von A. Defant und H. Ertel, Berlin,
Wir geben nachstehend eine einfache Ableitung des Clairautschen Theorems
ohne Benutzung von Kugelfunktionen,

J. Schwerepotential des Erdellipseids,
Es bedeute r den Abstand eines außerhalb der Erde gelegenen Aufpunktes
vom Erdmittelpunkt, r’ den Abstand eines Massenelements dm der Erde vom
Erdmittelpunkt und y den Winkel zwischen r und r', so daß nach dem Kosinussatz
der ebenen Trigonometrie die Entfernung R des Massenelements vom Aufpunkt

R= VEIT 1 —2 (4) cosy + (2)
r X
und das Schwerepotential im Aufpunkt
Bf 1. wirtcoste
vr: dm .
VON {x 3
Vı-s (5) + (7)
beträgt; — A? r? cos? go ist das Potential der Zentrifugalkraft, f=— Gravitationskonstante,
 w = Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation, g = geozentrische Breite,
Entwickeln wir den Integranden nach steigenden Potenzen von nn = x bis zum
Term zweiter Ordnung:
1
A A
Vı—2xcosy + x®
1
= LS
A ( 1—2xcosy + nn
Ay (A ——————) = 008
\ (3 VI 2xcoy an EV
während die explizite Darstellung von
AfL
» (Zr Yı—2xecosy+ =),
Zweck unseres Beweises nicht benötigt wird. Es ist also
tf 1 1 \
a [fam4 7 froosyam + 7 frr am)
— L a eo8tm.

Nun ist (dm = M die Gesamtmasse der Erde und [r‘cosydm =0, wenn der
Schwerpunkt der Erde mit dem Mittelpunkt zusammenfällt. Setzen wir
f/r*%*A,dm = B. so wird das Schwerepotential der Erde von der Form
. M B 1 M 1
n 6 get (mt zn)s
B win
DS el, N Ag  08* «1.
Dann liefert die Gleichung
OS M 3B
A =—0 (> + — «ro? g)
f X (14 3m-—n)}
die Schwerebeschleunigung g (bis auf Terme höherer Ordnung).

a a