l)r. II. liauschel bach: Harmonische Analyse der Gezeiten des Meeres. 1. Teil. 
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In der Klammer { ) heben sich alle Glieder mit Ausnahme von zweien gegenseitig auf, so daß 
sich ergibt 
(27) 2 cos r ß = . ----- ■ [4 sin 4 (2 v + 1) ß —V sin -I (2 u — 1) ß] 
sin 4 ß 
sin I- (v 
u 4- 1) ß 
cos 1 (u -f v) ß. 
Ebenso wird 
(28) 
sin 4 ß 
1 
sin 4- ß 
• [sin u ß • sin 4 ß + sin («+!)/?• sin 4- ß -f sin (u 4- 2) ß ■ sin iß+ ■ • • 
4~ sin (V — 1) ß • sin 4 ß + sin V ß ■ sin 4 iS] 
• | | cos 4- (2 u — 1) ß -1- 4 cos 4- (2 u -f 1) ß 4- | cos 4 (2 u + 3) ß + • • ■ 
— cos 4- (2 u -f- 1) ß — 4 cos 4 (2 u -f 3) ß — 4 cos 4 (2 « 4- 5) ß ■ • • 
-f 4 COS 4 (2 V — 3) ß + 4 cos 4 (2 V — 1) ß 
— 4 cos 4 (2 v — 1) ß — 4 cos 4 (2 v -f 1) ß) 
[— 4 cos 4 (2 v + 1) ß + 4 cos 4 (2 « — 1) /?] 
sin 4 ß 
sin 4 (v — u + 1) ß 
sin 4 ß 
sin 4 (w 4- v) ß. 
Werden die Werte für 2’ cos r ß und 2 sin r ß in die Gleichungen (23) und (24) eingesetzt, so wird 
f — v sin —■ •?/ —I— 1 ^ 
(29) 2 cos (a + t ß) — cos a •' —-—— ] ~ ■ cos 4 (u + v) ß 
und 
(30) ".2 sin (a + fj?) 
sin 4 ß 
sin 4 (v — « + 1) ß 
sin 4 ß 
sin 4 (v — U 4- 1) ß 
sin a 
sin 4 (v — u + 1) ß 
sin 4 ß 
sin 4 (u ~T v) ß 
sin a 
sin 4 ß 
cos [a 4- 4 ( u + v ) ß] 
cos (u 4~ ») ß 
4- cos a 
sin 4 (v — u 4- 1) ß 
sin 4 (v— u 4- 1) ß 
sin 4 ß 
sin 4 ß 
sin 4 (u 4- v) ß 
sin [a + 4 (u -f v) /S], 
Wird in diesen Formeln u = 0 gesetzt, so nehmen sie die Form an 
2 cos (a4rj3) = 8 -l¥P • cos (a 4- * ß), 
(31) 
(32) 
z. B. ist für a = 0 und v 
(33) 
(34) 
sin 4 ß 
\Jv + ; 
sin 4 ß 
2 sin (a 4- r ß) 
r - 0 
= 23. 
'" 23 0 sin 12/? 23 
2 COS r ß = - 7—r~- ■ COS -- ß, 
r _ o r sm 4 ß 2 1 
r “ 2 * 0 sin 12/? . 23 
2 sin r ß = ——‘ sm ^ ß- 
sin 4 (v 4- 1) ß V 
■ sm (a 4- — ß); 
0 sin 4 ß 2 
Aus den Gleichungen (31) und (32) folgt für die folgenden Summen 
(35) 2 cos («*! 4- rß x )- cos (a 2 4-r/? 2 ) = i~2 cos [(a t 4- a 2 ) + r (ß x 4- ß 2 )] + i^cos^«! — a 2 ) -fr (ft —ft)] 
«i 
sin 4 (ft 
+ T 
Ä) 
Sin 47/?! — ft) 
i . + . cos[(Bi _«,> + 1.< Ä _ Ä)]